Zeigen Sie, dass die Abbildungen

Question

Aufgabe:

Algebra

Problem/Ansatz:

Die Menge V = ZN2 := {(x1, x2, x3, . . .) | xi ∈ Z2} ist mit komponentenweiser Addition
und Skalarmultiplikation ein Z2-Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Abbildungen
Sr : V → V, (x1, x2, x3, . . .) 7→ (0, x1, x2, x3, . . .),
Sl : V → V, (x1, x2, x3, . . .) 7→ (x2, x3, . . .),
linear sind. Untersuchen Sie Sr und Sl außerdem auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und bestimmen Sie den Kern der beiden Abbildungen.

Answer 1

Sr : V → V, (x1, x2, x3, . . .) 7→ (0, x1, x2, x3, . . .),

linear bedeutet doch, dass für alle x,y ∈ ℤ₂^ℕ und a∈ℤ₂ gilt

Sr(x+y)=Sr(x)+Sr(y)   und Sr(ax)=aSr(x)

Sei nun x= (x1, x2, x3, . . .) und y= (y1, y2, y3, . . .), dann gilt

x+y= (x1+y1, x2+y2, x3+y3, . . .)

Also Sr(x+y)= (0,x1+y1, x2+y2, x3+y3, . . .)

                  = (0+0,x1+y1, x2+y2, x3+y3, . . .)

           =  (0,x1, x2, x3, . . .)+ (0,y1, y2, y3, . . .)

            =  Sr(x)+Sr(y)

analog auch Homogenität.

Sr injektiv?   Also wenn (mit x,y wie oben) gilt

                Sr(x)=Sr(y)
==>  (0,x1, x2, x3, . . .)= (0,y1, y2, y3, . . .)

Sr surjektiv? nein., denn z.B. die Folge,

die aus lauter 1en besteht, kommt als Bild

nicht vor.

Folgen sind nur gleich, wenn alle Folgenglieder gleich sind.

==>  (x1, x2, x3, . . .)= (y1, y2, y3, . . .)

==>    x = y .