Transformation und Faltung von Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

(a) Es wird die Längen von Fahrbahnen gemessen. Die gemessenen Werte eines Straßenstücks von 10 Metern seien normalverteilt mit Erwartungswert 10 Meilen und einer Standardabweichung von 0,1 Meilen (es gibt eine gewisse Messgenauigkeit mit dem Gerät). Sie rechnen die in Meilen gemessenen Werte \( X \) entsprechend der Vorschrift 1 Meile =1,6 Kilometer in einen Wert \( Z \) um. Welche Verteilung hat die Zufallsvariable \( Z \) ?

(b) Für \( \lambda, \mu>0 \) sei \( X \) eine Zufallsvariable mit Dichte \( f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x} \mathbb{1}\{x \geq 0\} \) und \( Y \) eine Zufallsvariable mit Dichte \( f_{Y}(y)=\mu e^{-\mu y} \mathbb{1}\{y \geq 0\} \). Die beiden Zufallsvariablen seien unabhängig. Welche Verteilung hat die Summe \( Z=X+Y \) ?

Problem/Ansatz:

Mir fehlt leider jeglicher Ansatz.

Answer 1

Hallo,

a) Sei \(X\) zunächst die Zufallsvariable, die die Länge der Fahrbahn angibt. Dann ist \(X\sim \mathcal{N} (10,0.1^2)\). Die Zufallsvariable \(Z\) ist gegeben durch \(Z=\frac{1}{1.6}X=0.625X\) und ist damit \(Z\sim \mathcal{N}(6.25,0.625^2\cdot 0.1^2)\) verteilt. Hier muss man nur die Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz beachten: \(\mathbb{E}(aX)=a\mathbb{E}(X)\) und \(\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)\).

b) Das sind Exponentialverteilungen zu den Parametern \(\lambda\) bzw. \(\mu\). Man arbeitet hier mit der Faltungsformel: Sind \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängig mit den Dichten \(f_X\) und \(f_Y\), dann besitzt \(X+Y\) die Dichte:$$f_{X+Y}(t)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}f_X(s)f_Y(t-s)\, \mathrm{d}s$$ Wichtig ist hier beim Integral der gewissenhafte Umgang mit den Indikatorfunktionen. Hier wird das, auf was du beim Berechnen achten musst. Wenn du nicht mehr weiter weißt, melde dich nochmal.

Comments

Vielen Dank schonmal.

Dann werde ich mal versuchen und mich ggf. nochmal melden.

Wie gebe ich die Verteilung denn jeweils an? Also wie muss sie vom „Grundgerüst“ her aussehen? Damit ich dann weiß, dass ich auch auf dem richtigen Weg bin.

---

Bei a) habe ich grundsätzlich verstanden was gemeint ist. Aber was soll mir der Tipp mit Varianz und Erwartungswert helfen?

---

Und bei b) ist die Dichte dann auch das, was ich suche?

---

Ich habe das bei a) in der Argumentation verwendet. Was ist der Erwartungswert von \(\mathbb{E}(Z)=\mathbb{E}(0.625X)\)? Naja, einfach \(0.625\cdot \mathbb{E}(X)=0.625\cdot 10=6.25\).

b) Wenn du die Dichte hast, kennst du die Verteilung. Die Verteilung \(\mathbb{P}_Z\) ist gegeben durch:$$\mathbb{P}_Z=\mathbb{P}(Z\in A)=\int_A f(t)\, \mathrm{d}t$$ für messbare \(A\).