Definition eines Zykels, von 1. Bedingung auf 2. schließen

Question

Aufgabe:

Sei \( \Gamma: G \rightarrow \mathbb{Z} \) eine Abbildung, die die 1. Bedingung in der Definition eines Zykels erfüllt. Zeige, dass dann die 2. Bedingung äquivalent dazu ist, dass

\( \sum \limits_{\gamma \in G} \Gamma(\gamma)\left(h\left(\gamma\left(b_{\gamma}\right)\right)-h\left(\gamma\left(a_{\gamma}\right)\right)\right)=0 \)

für alle Funktionen \( h: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich glaube, dass hier eigentlich nur die Werte von h auf der endlichen Menge \( A:=\bigcup_{\Gamma(\gamma) \neq 0}\left\{\gamma\left(a_{\gamma}\right), \gamma\left(b_{\gamma}\right)\right\} \) eine Rolle spielen. Wie sähe da eine Lösung aus?

Als Bedingungen für einen Zykel haben wir diese beiden Voraussetzungen:

1. Γ(ϒ)≠0 gilt nur für endlich viele ϒ∈G

2. Jeder Punkt tritt genauso oft als Anfangs wie als Endpunkt auf, mit Gewichtung gerechnet.

G ist dabei die Menge aller Wege in ℂ.

Für ϒ∈G sei ϒ:[a_ϒ,b_ϒ] →ℂ die Parametisierung.

Comments

Was ist denn ein Zykel? Geht es um Homologie?
Oder geht es um Homotopie?
Ist \(G\) ein endliches kommutatives Monoid
oder einfach nur eine endliche Menge?
Was sind denn die 1. und 2. Bedingung?
Und was ist \(h\) und was bedeutet \(\gamma\) ?

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Entschuldige, die beiden Bedingungen und die Definitionen habe ich angehangen. Es ist unter dem Oberbegriff Nullhomologie und Nullhomotophie, aber ich denke das sollte Homologie sein.