Äquivalenzrelation bei Komplexen Zahlen z1 = z2 transitiv?

Question

Aufgabe:

Es sei ℂ die Menge aller Komplexen Zahlen. Auf ℂxℂ seien folgende Relationen R definiert: z1Rz2 ⇔ z1=z2

Weise nach, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.

Problem/Ansatz:

Also ich habe geschrieben, dass es auf jeden Fall reflexiv ist, denn

z1 = z1 ist ganz sicher der Fall und auch z1-z1=0 ist korrekt

Es ist auch symmetrisch, denn es gilt auch z1 = z2, sowie z2 = z1, denn es gibt eine Zahl auf der Zahlenebene, bei der das der Fall ist.

Es geht ja hier um die Länge von Vektoren. Also wenn die Längen von z1 und z2 übereinstimmen, dann können auch die längen von z3 übereinstimmen. Es sind schließlich genug Möglichkeiten da, dies zu bestätigen.

Reicht das, wenn man das so ausschreibt? Ist das so korrekt oder hab ich was übersehen?

Comments

Hallo

Es geht nicht um die Länge von Vektoren! sonder um Punkte in der Riemannschen Ebene, die Gleichheit von z2=z3 heisst es ist derselbe Punkt, also aus z1=z2 ud z2=z3 folgt z1=z3

lul

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Die Gleichheitsrelation ist immer eine Äquivalenzrelation

egal auf welcher Menge sie betrachtet wird. Denn

Jedes Element ist mit sich selber gleich

Wenn ein Element einem zweiten gleich ist,
dann auch das zweite dem ersten.

Und (transitiv). Wenn 2 Elemente einem dritten gleich sind,

dann sind sie untereinander auch gleich.

Answer 1

Hallo mathef, war das Absicht oder ein Versehen, dass du die Antwort auf die Frage als Kommentar reingeschrieben hast statt als Antwort? So erschien die Frage weiterhin als “offen”.

Comments

Ich habe die Aufgabe in meinen Chatbot chat.openai.com reinkopiert. Seine Antwort:

Um zu zeigen, dass es sich bei R um eine Äquivalenzrelation handelt, müssen wir zeigen, dass R alle Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt. Dies sind die Reflexivität, die Symmetrie und die Transitive.

  Reflexivität: Für alle z in ℂ gilt, dass zRz, da die Relation R besagt, dass z1 gleich z2 sein muss, wenn z1Rz2 ist. Diese Eigenschaft ist also erfüllt.

  Symmetrie: Wenn z1Rz2 gilt, dann muss z1 gleich z2 sein. Wenn z1 gleich z2 ist, dann muss auch z2 gleich z1 sein. Deshalb gilt in diesem Fall auch z2Rz1. Die Symmetrie ist also erfüllt.

  Transitive: Wenn z1Rz2 und z2Rz3 gilt, dann müssen z1 und z2 gleich sein und z2 und z3 gleich sein. Da Gleichheit transitive ist, muss auch z1 gleich z3 sein. Deshalb gilt in diesem Fall auch z1Rz3. Die Transitive ist also erfüllt.

Da R alle Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt, ist es eine Äquivalenzrelation.

Ich hoffe, dass diese Erklärung hilfreich war! Wenn Sie weitere Fragen haben oder etwas nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht, mich erneut zu kontaktieren.