Verständnisfragen zu komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Beantworte folgende Fragen zu komplexen Zahlen:

Die Lösung der Gleichung |z-(1+2*i)| = |z|

a) ein Kreis

b) eine Parabel

c) eine Gerade

Im(2*e^(i*phi)) =

a) sin(2*phi)

b)2sin(phi)

c)sin(phi^2)

d)(i^2)*sin(phi)

Problem/Ansatz:

Bei der ersten Fragen denke ich dass das ein Kreis sein sollte, stimmt das?

Bei der zweiten Frage habe ich leider keinen Ansatz. Das ist ja die exponentialform aber wie forme ich das mit dem Im um?

Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich sehr dankbar

Answer 1

|z-(1+2*i)| = |z|

==>  |z-(1+2*i)| = |z-0|

Das sind also alle Punkte, die von P=1+2*i genausoweit entfernt sind

wie von 0,also die Mittelsenkrechte der Strecke 0P.

Das ist eine Gerade.

2.

Im(2*e^(i*phi)) =Im(2*(cos(φ)+i*sin(φ)) )=  

                   Im(2cos(φ)+i*2sin(φ) )=   2sin(φ)

Comments

Das ist die trigonometrische Form aber ich bin leider zu blöd da den ansatz zu erkennen um auf einen der lösungsvorschläge zu kommen

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Hab was ergänzt.

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Ich verstehe zwar immer noch nicht genau wie du auf das Ergebnis kommst aber trotzdem Vielen Dank für deine Hiilfe!

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Der Im-Teil ist immer der Faktor der bei dem i

steht, wenn es auf die Form a+bi bringt.

Answer 2

\(|z-(1+2*i)| = |z|  |^{2}\)

\([z-(1+2*i)]^2 = z^{2}\)

\(z^2-2*z*(1+2*i)+(1+2*i)^2 = z^{2}\)

\( -2*z*(1+2*i)+(1+2*i)^2 = 0|:(1+2*i)\)

\( -2*z+1+2*i = 0\)

\(z=0,5+i\)

Probe:

\(|0,5+i-1-2*i)| = |0,5+i| \)

\(|-0,5-i| = |0,5+i| \) ✓

Comments

z=2,5 = 2,5+ 0i ist auch eine Lösung.

Probe :  \(|2,5-1-2*i| = |2,5| \)

             \(|1,5-2*i| = 2,5  \)

       \( \sqrt{2,25 + 4} = 2,5  \) ✓

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Die Antwort ist leider falsch.

|z|²≠z² für z∉ℝ.

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von z^2 war doch in der Aufgabe keine Rede.

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In moliets' Antwort schon.

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Dann ist meine Antwort wohl als falsch anzusehen, obwohl die Probe richtig ist.

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Als Lösung der ersten Aufgabe erhält man eine Gerade. Du hast nur einen Punkt heraus bekommen, der zwar auf der Geraden liegt, aber nicht die vollständige Lösung darstellt.

Answer 3

|z-(1+2*i)| = |z|

|x + iy - 1 - 2i| = |x+iy|

|(x-1) +  i(y-2)| = |x+iy|

(x-1)²+(y-2)² = x²+y²

-2x+1-4y+4=0

4y=-2x+5

y=-0,5x+1,25 → Gerade

:-)

PS:

moliets' Ergebnis 0,5+i , also x=0,5  und y=1 stellt einen Punkt auf der Geraden dar.

-0,5•0,5+1,25=1 ✓