Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \mathbb{D} von f .

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) in zwei Veränderlichen mit
\( f(x, y)=\sqrt{x^{2}+4 \cdot x+y^{2}+2 \cdot y-4} . \)
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \( \mathbb{D} \) von \( f \).
\( \mathbb{D}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \square \quad \text { (Nicht beantwortet) } \square\right. \text { । } \)
Geben Sie den Mittelpunkt und den Radius der Kreisscheibe an, der den maximalen Definitionsbereich \( \mathbb{D} \) von \( f \) darstellt.
Kreis Mittelpunkt: \( M= \)
Radius: \( r= \)
Welche Fläche gehört zu dem Definitionsbereich \( \mathbb{D} \) ?

Answer 1

\( f(x, y)=\sqrt{x^{2}+4 \cdot x+y^{2}+2 \cdot y-4} =\sqrt{x^{2}+4 \cdot x \red{+4}+y^{2}+2 \cdot y-4 \red{-4}}=\sqrt{x^{2}+4 \cdot x \red{+4}+y^{2}+2 \cdot y \blue{+1}-4\red{-4}\blue{-1}}=\sqrt{(x+2)^2+(y+1)^2-4\red{-4}\blue{-1}}\).

Answer 2

Aloha :)

$$f(x;y)=\sqrt{x^4+4x+y^2+2y\pink{-4}}$$$$\phantom{f(x;y)}=\sqrt{(x^4+4x\pink{+4})+(y^2+2y\pink{+1})\pink{-9}}$$$$\phantom{f(x;y)}=\sqrt{(x+2)^2+(y+1)^2-9}$$Damit die Wurzelfunktion definiert ist, muss das Argument \(\ge0\) sein, d.h:$$(x+2)^2+(y+1)^2\ge3^2$$Das sind alle Punkte \((x;y)\in\mathbb R^2\) außerhalb \((\pink>3^2)\) eines Kreises mit Mittelpunkt \(M(-2;-1)\) und Radius \(r=3\). Der Rand des Kreises \((\pink=3^2)\) gehört zur Definitionsmenge dazu.