Ableitung berechnen und Differenzierbarkeit beweisen, aber wie?

Question

Aufgabe:

Seien a und b positive Zahlen und die Funktion f : R -> R sei durch folgende Formel definiert.
Beweise, dass f an allen von 0 verschiedenen Stellen differenzierbar ist, und berechne die Ableitung.

\(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|^{a} \sin \left(\frac{1}{|x|^{b}}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Meine Idee war Ableitungen für x>0 und x<0 zu bestimmen, das Verhalten von f in der Nähe von 0 zu untersuchen, ob f für bestimmte Werte von a und b stetig ist z.B. Irgendwie hat das alles nicht so geklappt.
Denke das Problem ist u.a. dass ich mit der Funktion nicht recht umzugehen weiß, da sie so allgemein ist.
Schritte + Erklärung wären super, wenn es jemand interessant genug findet, um mal genau drüber zu schauen.

Answer 1

Hallo

deine Idee mit den 2 Fällen x<0 und x>0 die dann einfach differenzierteren Funktionen (als zusammengesetzt aus differenzierteren Fkt. ist doch gut- Dann betrachte den GW der Ableitungen gegen 0 dafür braucht man erst mal Stetigkeit bei 0, denk daran dass sin und cos immer beschränkt sind.

Gruß lul

Comments

Eine Fallunterscheidung ist nicht erforderlich.
Als Zusammensetzung differezierterer Funktionen ist f am differeziertesten.
Eine Brechnung von Ableitungen ist überflüssig.
Eine Untersuchung von Grenzwerten erübrigt sich.