Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z , die die folgende Gleichung erfüllen.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen \( z \), die die folgende Gleichung erfüllen:
\( z^{3}=-1 \)
Lösungsmenge:
\( \{z 1, z 2, \ldots\} \)
Hinweise:
- Geben Sie die Lösungsmenge in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.
- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit Fließkommazahlen an.
- Falls nötig, schreiben Sie \( \pi \) als pi, \( \sqrt{a} \) als sqrt(a) und \( \mathrm{e}^{x} \) als \( \exp (x) \)

Problem/Ansatz:

Hi Leute brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.. ich verstehe sie ehrlich nicht und sitze schon sehr lange daran trotz youtube.. kann mir bitte jamand die richtige Lösung nennen und gerne mit Rechenweg will es nachvollziehen und verstehen. Danke im Voraus Leute :**

Comments

Alternativ ohne Polarform: Die Gleichung ist äquivalent zu \(z^3+1=0\).
Offenbar ist \(z_1=-1\) eine Lösung, daher ist \(z^3+1\) ohne Rest durch \(z+1\) teilbar.
Polynomdivision liefert \(z^3+1=(z+1){\cdot}(z^2-z+1)\). Löse \(z^2-z+1=0\) z.B. mit der \(pq\)-Formel.

Answer 1

Hallo,

wenn du die Polarform kennst, ist es relativ einfach.

$$z^3=-1$$

$$(|z|e^{i\varphi})^3=1e^{i\pi}$$

$$|z|^3=1~~~~;~~~~e^{i\cdot3\varphi}=e^{i\pi}$$

$$|z|=1~~~~;~~~~3\varphi=\pi+n\cdot2\pi~~~(n\in\{0;1;2\})$$

$$ z_1=e^{i\cdot\pi/3}~~~;~~~ z_2=e^{i\cdot\pi}=-1~~~;~~~z_3=e^{i\cdot5\pi/3}$$

Answer 2

1/2±\( \sqrt{3} \)·i/2  

Comments

Fehlt noch eine?

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Die Fehlende ist nicht komplex.

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Sondern\(\)?

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Sondern?

Wenn ggT22 das liest, wird er mit dir schimpfen.

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Die Fehlende ist nicht komplex.

Doch!

Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl.