Wie könnte ich die Mengengleichung (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A beweisen?

Question

Die frage: "Beweisen sie das (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A gilt"
meine lösung:

(A\B) ∩ (B\C) ⊆ A ⇔

(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧  (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇒ x ∈ A ⇔

 ¬(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧  (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇒ x ∈ A ⇔

(¬x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨  (¬x ∈ B ∨ x ∈ C) ∨ x ∈ A ⇔

x ∈ C

Ist meine Lösung richtig?

Comments

Ein Venn-Diagramm macht es anschaulich.

Answer 1

(A\B) ∩ (B\C) ist leer. Die leere Meng ist Teilmenge jeder Menge.

Comments

(A\B) ∩ (B\C) ist leer.

Richtig. Aber ich denke, dass man das schon noch begründen müsste, um etwa in einem Test die "volle Punktzahl" zu erzielen.

---

könnte der beweis so aussiehen?

Beweis:
(A\B) ∩ (B\C) ist ein Leere Menge, da ein Element nicht außer B und auch in B sein kann, deshalb gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A <=> {} und da {} die Teilmenge von jede Menge ist, gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A

---

Das Zeichen ⇔ kann nur zwischen Aussagen stehen und { } ist keine Aussage.

---

ist es dann so richtig?
(A\B) ∩ (B\C) ist ein Leere Menge, da ein Element nicht außer B und auch in B sein kann, deshalb gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A ⇔ {} ⊆ A und da {} die teilmenge von jede menge ist, gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A

würdest du es anders formulieren?

---

Bis auf Groß- und Kleinschreibung ist das richtig.

---

ich habe es mir nochmal angeguckt, ist der Beweis eigentlich nicht auch richtig?
beweis:
x ∈ (A\B) ∩ (B\C) ⇔
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇔
(x ∈ A ∧ ¬x ∈ C) ⇔
(A\C)
Also Alle Elemente aus A ohne C sind eine Teilmenge von A, deshalb gilt (A\B) ∩ (B\C) ⊆ A ⇔ (A\C) ⊆ A.

---

Auch hier gilt, was ich schon schrieb:

Das Zeichen ⇔ kann nur zwischen Aussagen stehen und A\C ist keine Aussage.

---

Ist es aber ansonsten richtig?

---

Ja, der Beweis ist korrekt. Der Beweis zeigt, dass das Durchschnittmengen-Ausdrucks ((A\B) ∩ (B\C)) eine Teilmenge von (A\C) ist. Der Beweis nutzt die Definitionen von Mengendifferenzen und Mengendurchschnitten, um diese Beziehung zu beweisen.

---

Warum gilt:

(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C) ⇔(x ∈ A ∧ ¬x ∈ C) ?

---

Es gilt, weil es zeigt, dass ein Element x in (A\B) ∩ (B\C) nur dann existiert, wenn es in A ist und nicht in B oder C. Dies bedeutet, dass es sich auch in (A\C) befindet, da es in A ist und nicht in C.

---

Nein, es gilt nicht, weil ⇐ falsch ist.

---

(x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C)
⇔x ∈ A ∧ (¬x ∈ B ∧ x ∈ B) ∧ ¬x ∈ C

Die Teilaussage ¬x ∈ B ∧ x ∈ B ist nicht wahr, wenn (x ∈ A ∧ ¬x ∈ C) wahr ist.

Answer 2

\(\begin{aligned} & x\in(A\setminus B)\cap(B\setminus C)\\ \implies & x\in A\setminus B\wedge x\in B\setminus C\\ \implies & x\in A\setminus B\\ \implies & x\in A\wedge x\notin B\\ \implies & x\in A \end{aligned}\)