Zeigen Sie, dass µw R-linear ist und bestimmen Sie die Abbildungsmatrix D(µw) von µw bezüglich Basis (1, i).

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass µw R-linear ist und bestimmen Sie die Abbildungsmatrix D(µw) von µw bezüglich Basis (1, i).

Problem/Ansatz:

C ist ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit geordneter Basis (1, i). Wenn w = u + vi eine
feste komplexe Zahl ist, dann betrachten wir die Abbildung
µw : C → C, z→ w · z.

Die Abbildungsmatrix wäre dann von der Größe 2x2, da C zweidimensional ist, jedoch ist nur eine Basis gegeben, weshalb man nur auf eine Matrix mit 1x1 kommen kann, oder verstehe ich die Aufgabe falsch?

Bei der R-Linearität bin ich mir auch nicht ganz sicher. Muss man einfach zeigen, dass z.B. µw(x + y) = µw(x) + µw(y) und µw(ax) = a*µw(x) ist, wobei a, x und y Reelle Zahlen sind? Wäre das aber nicht schon gegeben, weil R Untermenge von C ist?

Answer 1

jedoch ist nur eine Basis gegeben

Das stimmt, aber diese hat 2 Elemente 1 und i .

Und dann hast du ja noch w=u+vi

Also folgt µ_w(1) = u+vi . Hat also bzgl. der gegeb. Basis den

Koordinatenvektor \(  \begin{pmatrix} u\\v \end{pmatrix}  \)

und µ_w(i)  = ui-v . Hat also bzgl. der gegeb. Basis den

Koordinatenvektor \(  \begin{pmatrix} -v\\v \end{pmatrix}  \) .Also ist die Matrix \(  \begin{pmatrix} u&-v\\v&u \end{pmatrix}  \)

Für den anderen Teil beachte ℝ-linear.

Bei µ_w(x*z) =x*µ_w(z) . Musst du also von reellem x ausgehen.

Comments

Ich verstehe wohl die Fachbegriffe einfach nicht richtig.
Kannst du mir den Unterschied zwischen C ist zweidimensional und C^2 erklären?