Hallo ich bereite mich momentan auf meine Lina 1 Klausur vor und habe von meinem Professor Altklausuren bekomme, jedoch habe ich keine Lösungen. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand diese Aufgaben lösen kann, damit ich diese mit meinen Lösungen kontrollieren kann.
1)
Seien a ∈ R und v1, v2, v3 ∈ R^3 mit
v1 := (a^2, 0, 1)T
, v2 := (0, a, 2)T
, v3 := (1, 0, 1)T
.
a) Bestimmen Sie die Dimension von U := Span{v1, v2, v3} in Abhängigkeit von a.
b) Für welche a ist e3 ∈ U? Bestimmen Sie in diesen Fällen eine Darstellung von e3 als
Linearkombination von v1, v2, v3.
2)
Sei V ein K–Vektorraum mit dim V < ∞. Sei weiter F : V → V
linear. Zeigen Sie:
a) Ist F^2 = 0, so gilt Bild F ⊆ Kern F.
b) Es sind aquivalent:
i) Bild F = Kern F,
ii) F^2 = 0 und dim V = 2 · Rang F
3)
Für a, b ∈ M := R \ {1} sei definiert: a ∗ b := a + b − ab.
Dann ist ∗ : M × M → R.
a) Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ M ist a ∗ b ∈ M (d.h. ∗ ist eine wohldefinierte Verknüpfung auf M).
b) Bestimmen Sie das Neutrale bzgl. ∗.
c) Sei a ∈ M. Bestimmen Sie a^−1 und zeigen Sie: a^−1 ∈ M.
d) Losen Sie in M die Gleichung 3 ∗ x ∗ 2 = 7. Dabei dürfen Sie verwenden, dass ( M, ∗) eine
Gruppe ist
4)
Sei Pn der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder
gleich n und F : Pn → Pn definiert durch
\( F\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} t^{k}\right):=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{n-k} t^{k} \)
Weiter sei bereits gezeigt, dass F linear ist.
a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von F bzgl. der Basis A = (1, t, t^2, . . . , t^n).
b) Bestimmen Sie det F.
c) Ist F injektiv? (Begrundung!)
5)
Seien U, W UVR von V Teilraume des K–Vektorraums V mit dim V = 11, dim U = 5 und dim W = 9.
Sei weiter F : U → W linear.
a) Bestimmen Sie: dim V/U
b) Geben Sie scharfe Grenzen an: ≤ dim(U ∩ W) ≤
c) F : U → W ist genau dann injektiv, wenn gilt: dim Bild F =
Ich danke für eure Hilfe.
