Aloha :)
Schritt 1) Wir brauchen möglichst viele Spalten mit lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null. Dazu kannst du elementare Gauß-Operationen verwenden:$$\begin{array}{rrrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & = & \text{Operation}\\\hline1 & -3 & 1 & -2 & 4 & 0 &\\-1 & 2 &-4 & 1 & -1 & 0 &+\text{Zeile }1\\2 & 1 & 24 & -3 & 2 & 0 & -2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & -3 & 1 & -2 & 4 & 0 &-3\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -1 & -3 & -1 & 3 & 0 &\cdot(-1)\\0 & 7 & 22 & 1 & -6 & 0 &+7\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 10 & 1 & -5 & 0 &-10\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 1 & 3 & 1 & -3 & 0 &-3\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & -6 & 15 & 0\\\hline\pink1 & 0 & 0 & 61 & -155 & 0 &\Rightarrow \pink{x_1}+61x_4-155x_5=0\\0 & \pink1 & 0 & 19 & -48 & 0 &\Rightarrow\pink{x_2}+19x_4-48x_5=0\\0 & 0 & \pink1 & -6 & 15 & 0 &\Rightarrow \pink{x_3}-6x_4+15x_5=0\end{array}$$
Schritt 2) Bedingungs-Gleichungen umstellen
Stelle die erhaltenen Bedingungs-Gleichungen nach der pinken Variablen um:$$x_1=-61x_4+155x_5\quad;\quad x_2=-19x_4+48x_5\quad;\quad x_3=6x_4-15x_5$$
Schritt 3) Ergebnis hinschreiben
Damit kannst du nun alle Lösungsvektoren aufschreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-61x_4+155x_5\\-19x_4+48x_5\\6x_4-15x_5\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=x_4\begin{pmatrix}-61\\-19\\6\\1\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}155\\48\\-15\\0\\1\end{pmatrix}$$
Die Lösung ist hier also ein 2-dimensionaler Vektorraum mit den angegebenen Basisvektoren.
