Hallo Roland,
Jedes Tripel \((a,\,b,\,c)\), welches in folgender Form generiert werden kann:$$\begin{aligned}a &= m^2 - n^2\\b&=2mn\\c&=m^2 + n^2 \end{aligned} \quad\quad m,\,n \in \mathbb{N} \land n \lt m$$ist bekanntermaßen ein pythagoreisches Tripel.
Es sei \(F_n\) die Fibonacci-Folge mit \(F_0=0\), \(F_1=1\) und \(F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1}\) dann lassen sich die Tripel \((a_0,b_0,c_0)\) und \((a_1,b_1,c_1)\) schreiben als$$\begin{aligned} a_{n} &= F_{n+2}^2 - F_{n+1}^2 \\ b_{n} &= 2F_{n+2}F_{n+1}\\ c_{n}&=F_{n+2}^2 + F_{n+1}^2 \end{aligned}\quad\quad n\in\{0,\,1\}$$Und dies gilt auch für alle \(n\in\mathbb{N}\), wie im folgenden mittels Induktionsschritt gezeigt wird. Mit der Vorgabe von \(a_{n+1}\) und der Induktionsannahme ist:$$\begin{aligned}a_{n+1} &= a_{n-1}+ c_{n} \\&=F_{n+1}^2 - F_{n}^2 + F_{n+2}^2 + F_{n+1}^2\\ &=F_{n+1}^2 - F_{n}^2 + F_{n+1}^2+2F_{n+1}F_{n} + F_{n}^2 + F_{n+1}^2\\ &=F_{n+1}^2+2F_{n+1}F_{n} + 2F_{n+1}^2\\ &=F_{n+1}^2 + 2F_{n+1}\left(F_{n} + F_{n+1}\right) \\ &=F_{n+1}^2 + 2F_{n+1}F_{n+2} \\ &=F_{n+1}^2 + 2F_{n+1}F_{n+2} +F_{n+2}^2 - F_{n+2}^2\\ &=\left(F_{n+1}+F_{n+2}\right)^2 - F_{n+2}^2\\ &=F_{n+3}^2 - F_{n+2}^2\\ \end{aligned}$$Das gleiche Spielchen für \(b_n\). Diesmal ist es etwas einfacher:$$\begin{aligned} b_{n+1} &= a_{n} + b_{n} + c_{n}\\ &= F_{n+2}^2-F_{n+1}^2 + 2F_{n+2}F_{n+1} + F_{n+2}^2 + F_{n+1}^2\\ &= 2F_{n+2}F_{n+1} + 2F_{n+2}^2\\ &= 2F_{n+2}\left(F_{n+1} + F_{n+2}\right)\\ &= 2F_{n+2}F_{n+3}\\ \end{aligned}$$und schlußendlich für \(c_n\):$$\begin{aligned}c_{n+1} &= a_{n+1}+a_{n}+c_{n} \\ &= a_{n-1}+c_{n} +a_{n}+c_{n} \\&= a_{n-1} +a_{n}+2c_{n} \\ &= F_{n+1}^2 - F_{n}^2 + F_{n+2}^2 - F_{n+1}^2 + 2\left(F_{n+2}^2 + F_{n+1}^2\right)\\ &= - F_{n}^2 + F_{n+1}^2 + 2F_{n+1}F_{n} + F_{n}^2+ 2F_{n+2}^2 + 2F_{n+1}^2\\ &= F_{n+1}^2 + 2F_{n+1}F_{n}+ 2F_{n+2}^2 + 2F_{n+1}^2\\ &= F_{n+1}^2 + 2F_{n+1}\left(F_{n}+ F_{n+1}\right)+ 2F_{n+2}^2 \\ &= F_{n+1}^2 + 2F_{n+1}F_{n+2}+ 2F_{n+2}^2 \\ &= \left(F_{n+1}+ F_{n+2}\right)^2 + F_{n+2}^2 \\ &= F_{n+3}^2 + F_{n+2}^2 \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$und damit ist gezeigt, dass alle \((a_n,\,b_n,\,c_n)\) mit \(n\in\mathbb{N}\) pythagoreische Tripel sind.
Gruß Werner
