Begründen Sie mit Hilfe des gegebenen Graphen der Ableitung f‘(x) folgende Aussagen

Question

Aufgabe:

Die Abbildung 1 zeigt den Graph der Ableitungsfunktion der Funktion f(x)

a) Begründen Sie mit Hilfe des gegebenen Graphen der Ableitung f‘(x) folgende Aussagen:

Text erkannt:

2 Die Abbildung 1 zeigt den Graph der
Ableitungsfunktion der Funktion \( f(x) \).
a) Begründen Sie mit Hilfe des gegebenen
Graphen der Ableitung \( f^{\prime}(x) \) folgende
Aussagen:
i) \( f(x) \) hat genau einen Tief- und einen
Hochpunkt
ii) \( f(x) \) hat genau einen Wendepunkt an der Stelle \( x_{1}=1 \).
iii) Die Tangente am Wendepunkt hat eine positive Steigung.
iv) \( f(x) \) ist Intervall \( [-2 ; 4] \) monoton wachsend.

b) Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf für die Funktion f(x).

Problem/Ansatz:

Ich habe bei dieser Aufgabe Probleme und komme nicht weiter. Jedoch habe ich einige Ideen:

a) Hier würde ich sagen es gibt nur einen Hochpunkt (1|9)

b) den Wendepunkt würde ich auch am Hochpunkt ausmachen, weil sich dort der Verlauf der Funktion ändert

c) demnach würde die Steigung dort negativ sein, da der Graph fällt

Bei den anderen Aufgaben habe mich leider überhaupt keine Ahnung und würde mich über Hilfe beim Lösen der Aufgabe sehr freuen.

Answer 1

ai)

Man hat genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel (VZW) und damit genau zwei Extrempunkte.

VZW von - nach + ist ein Tiefpunkt.

aii)

f' hat einen Extrempunkt bei x = 1 und damit hat f einen Wendepunkt an dieser Stelle.

aiii)

f'(1) ≈ 9 und damit sicher eine positive Steigung.

aiv)

f' hat im Intervall [-2 ; 4] keine negativen Funktionswerte.

b)

~plot~ -1/3x^3+x^2+8x;-x^2+2x+8;[[-6|8|-10|27]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die Hilfe. Das ist für mich ersichtlich und hat mir weitergeholfen.

Answer 2

i) f(x) hat genau einen Tief- und einen Hochpunkt

Der Graph von \(f'\) hat genau zwei Nullstellen, eine mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv und eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.

ii) \( f(x) \) hat genau einen Wendepunkt an der Stelle \( x_{1}=1 \).

\(f'\) hat einen Extrempunkt bei \(x_1\). An jeder Stelle kann jede Funktion nur maximal einen Wendepunkt haben.

iii) Die Tangente am Wendepunkt hat eine positive Steigung.

Es ist \(f'(x_1) > 0\).

iv) f(x) ist Intervall [−2;4] monoton wachsend.

\(f'(x)\) ist Intervall \((−2;4)\) positiv.