Bestimme die x-Koordinate des Extrempunkts.

Question

Aufgabe:

Bestimme die x-Koordinate des Extrempunkts.

f(x) = xe^bx

Problem/Ansatz:

Als Ableitung habe ich: f'(x)= e^bx + bxe^bx

Ich bekomme die ganze Zeit x = 0 raus... Aber das stimmt nicht.

Comments

Als Ableitung habe ich: f'(x)= e^bx + bxe^bx

Gut. Klammere nun e^bx aus (manche sagen auch: Hebe e^bx heraus) und bestimme die Nullstelle.

Answer 1

\(f(x) = x*e^{b*x}\)

\(f´(x) = e^{b*x}+x*e^{b*x}*b\)

\( e^{b*x}+x*e^{b*x}*b=0\)

\( e^{b*x}*(1+b*x)=0\)

Satz vom Nullprodukt:

\( e^{b*x}\) kann nicht 0 werden.

\( 1+b*x=0\)

\( b*x=-1\)

\( x=-\frac{1}{b}\)

Answer 2

f(x) = x·e^(b·x)

f'(x) = 1·e^(b·x) + x·b·e^(b·x) = e^(b·x)·(b·x + 1)

Extremstelle f'(x) = e^(b·x)·(b·x + 1) = 0 --> x = - 1/b

Answer 3

Aloha :)

Die Ableitung ist korrekt:$$f'(x)=e^{bx}+bxe^{bx}=e^{bx}(1+bx)\stackrel!=0$$

Die Exponentialfunktion ist stets positiv, daher findest du die Nullstelle der ersten Ableitung, wenn die Klammer null wird:$$1+bx=0\implies x=-\frac1b$$