Stellen Sie die Wahrscheinlichkeits- verteilung von Y auf und berechnen Sie den Erwartungswert von Y

Question

Aufgabe:

Für einen Einsatz von 8€ darf man an folgendem Spiel teilnehmen. Eine Urne enthält 6 rote und 4 schwarze Kugeln. Es werden drei Kugeln mit einem Griff gezogen. Sind unter den gezogenen Kugeln mindestens zwei rote Kugeln, so erhält man 10€ ausgezahlt. Es soll geprüft werden, ob das Spiel fair ist.

a) X sei die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgroße X auf.

b) Y sei der Gewinn pro Spiel (Auszahlung Einsatz). Stellen Sie die Wahrscheinlichkeits- verteilung von Y auf und berechnen Sie den Erwartungswert von Y.

c) Wie muss der Einsatz verändert werden, damit ein faires Spiel entsteht?

Problem/Ansatz

Bei Aufgabe a hab ich bereits die Ereignisse berechnet, also bei 0 roten Kugeln = 1/30 bei 1 roten Kugel = 3/10 bei 2 roten Kugeln = 1:2 und bei 3 roten Kugeln = 1/6

Doch wie kommt man jetzt auf

P(X = 0) = 1/30
P(X = 1) = 9/30
P(X = 2) = 15/30
P(X = 3) = 5/30 ?

Wie kommt man außerdem auf

b)

P(Y = -8) = 10/30
P(Y = 2) = 20/30

E(Y) = - 4/3

c)

-e*1 + 10*2/3 = 0 → e = 20/3 = 6.667

Kann mir bitte jemand sagen, worauf man achten soll?

Answer 1

Die Verteilung erfolgt gemäß der Lotto Verteilung bzw. der hypergeometrischen Verteilung.

Siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

P(X = k) = (6 über x)·(4 über 3 - x)/(10 über 3)

P(Y = -8) = P(X = 0) + P(X = 1)

P(Y = 2) = P(X = 2) + P(X = 3)

Answer 2

mit Baumdiagramm:

a) p(X>=2) = 4/10*3/9*6/8*3 + 4/10*3/9*2/8

b) EW= p*2- (1-p)*8

c) p*(10-e)-(1-p)*e = 0