Polynomentwicklung P(x) = x3 + 3x2 - 2x + 4 nach Potenzen von x + 1

Question

Aufgabe:

Entwickeln Sie das Polynom
P(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 4 
nach Potenzen x + 1.

Wie geht man hier vor?

Answer 1

\(x+1=u\Rightarrow x=u-1\), also simples Einsetzen:

\(P(x)=P(u-1)=(u-1)^3+3(u-1)^2-2(u-1)+4=\)

\(=u^3-5u+8=(x+1)^3-5(x+1)+8\)

Answer 2

Probier mal das Taylorpolynom an der Stelle x = -1

T(x) = f'''(-1)/3!·(x + 1)^3 + f''(-1)/2!·(x + 1)^2 + f'(-1)/1!·(x + 1) + f(-1)

T(x) = 1·(x + 1)^3 + 0·(x + 1)^2 - 5·(x + 1) + 8

T(x) = (x + 1)^3 - 5·(x + 1) + 8

Comments

Alternative. Verschiebe die Funktion eine Einheit nach rechts.

y =  (x - 1)^3 + 3·(x - 1)^2 - 2·(x - 1) + 4
y =  (x^3 - 3·x^2 + 3·x - 1) + 3·(x^2 - 2·x + 1) - 2·(x - 1) + 4
y =  x^3 - 5·x + 8

Verschiebe jetzt die Funktion eine Einheit nach links.

y =  (x + 1)^3 - 5·(x + 1) + 8

Hier kommt man ohne Ableitungen aus hat dafür aber etwas mehr Aufwand beim ersten ausmultiplizieren.

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Herzlichen Dank!

Answer 3

Hallo,

mache die Taylorentwicklung bei \(x=-1\):$$\begin{aligned}T_{3}\left(x\right)&=f\left(-1\right)+f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+\frac{f''\left(-1\right)}{2}\left(x+1\right)^{2}+\frac{f'''\left(-1\right)}{6}\left(x+1\right)^{3} \\&= 8 -5(x+1) + (x+1)^3\end{aligned}$$Bem.: \(f''(-1)=0\) - dort liegt der Wendepunkt.

https://www.desmos.com/calculator/dcjjoisvef

Gruß Werner

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Vielen herzlichen Dank für die Hilfe!