Zeige, daß y : R → R nicht periodisch ist.

Question

Sei y : R → R eine stetig differenzierbare nicht konstante Funktion
und g : R → R eine stetige Funktion, so daß die Differentialgleichung
y´(t) = g(y(t)) für alle t ∈ R erfüllt ist. Zeige, daß y : R → R nicht periodisch ist.

Problem/Ansatz:

Leider keine Ahnung wie ich das lösen könnte. Kann mir jemand helfen.

Answer 1

Sei y eine periodische Lösung der Differentialgleichung. Wähle ein \(a \in \R\) mit \(y'(a)>0\). Setze

$$M:=\{s \in \R \mid \forall t \in (a,s): \;y(t)>y(a)\}$$

Wegen \(y'(a)>0\) ist M nicht leer. Weil y periodisch ist, ist M beschränkt. Sei \(b:=\sup M\). Dann ist \(y(b)=y(a)\). für \(t<b\) ist \(y(t)-y(b)>0\), also \(y'(b)\leq 0\). Das ist ein Widerspruch, da

$$0<y'(a)=g(y(a))=g(y(b))=y'(b)$$