Es sei WW := {0, 1} und f^: (WW × WW ) → WW gegeben

Question

Aufgabe:

Es sei WW := {0, 1} und f_^: (WW × WW ) → WW durch diese Tabelle gegeben:

f^	0	1
0	0	0
1	0	1

Geben Sie alle Homomorphismen von <W W, f_^> in sich selbst an.

Problem/Ansatz:

Ich hänge noch daran, wie genau man in diesem Fall vorgeht, um die Abbildungen aus den Angaben zu bekommen, aus denen man später die Homomorphismen bestimmen soll.

Die Abbildungen wären:

- 0 → 0, 1 → 1 ('Identität')

- 0 → 1, 1 → 0 ('Negation')

- 0 → 0, 1 → 0 ('Null')

- 0 → 1, 1 → 1 ('Eins')

Answer 1

Sei \(\varphi:\ WW\to WW\).

Die Abbildung \(\varphi\) ist genau dann ein Homomorphismus, wenn gilt:

        \(\begin{aligned} f_{\wedge}(\varphi(0), \varphi(0)) &= \varphi(f_\wedge(0,0))\\ f_{\wedge}(\varphi(0), \varphi(1)) &= \varphi(f_\wedge(0,1))\\ f_{\wedge}(\varphi(1), \varphi(0)) &= \varphi(f_\wedge(1,0))\\ f_{\wedge}(\varphi(1), \varphi(1)) &= \varphi(f_\wedge(1,1)) \end{aligned}\)

Ist \(\varphi\) die Negation, dann ist

        \(f_{\wedge}(\varphi(0), \varphi(1)) = f_\wedge(1,0) = 0\)

aber

        \(\varphi(f_\wedge(0,1)) = \varphi(0) = 1\)

also ist die Negation kein Homomorphismus.

Prüfe entsprechend die Identität, die Null und die Eins.