Hessematrix aufstellen und Minimalstelle finden

Question

Aufgabe: Hessematrix aufstellen und herausfinden ob die Funktion eine Minimalstelle besitzt oder nicht.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} f(x, y)=2 x^{6}-3 x^{3} y+y^{2} \\ \frac{\partial f}{\partial x}=12 x^{5}-9 x^{2} y \\ \frac{\partial f}{\partial y}=-3 x^{3}+2 y \\ 12 x^{5}-9 x^{2} y-\text { (f1) } \quad-3 x^{3}+2 y-\text { (f2) } \\ H(f(x, y))=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial f1}{\partial x}=60 x^{4}-18 x y & \frac{\partial f1}{y}=-9 x^{2} \\ \frac{\partial f2}{\partial x}=-9 x^{2} & \frac{\partial f2}{y}=+2 \end{array}\right) \\ H(f(x, y))=\left(\begin{array}{cc} 60 x^{4}-18 x y & -9 x^{2} \\ -9 x^{2} & 2 \end{array}\right) \\ H(f(0,0))=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \quad \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=0 \\ \end{array} \)
Weil diese Matrix nicht positive definit ist, hat der funktion \( / \) an stelle \( (0,0) \) keine minimalstelle

Problem/Ansatz:

… Habe ich es richtig gemacht?, der funktion besitzt keine minimalstelle an der punkt (0,0)

Answer 1

Deine Hesse-Matrix ist richtig, und ja, sie hat \(\det=0\). Das besagt aber erstmal gar nichts. Es gilt: \(H(0,0)\) positiv definit \(\implies\) \(H\) hat in \((0,0)\) ein lokales Minimum, aber nicht umgekehrt. Im Fall \(\det =0\) ist noch nichts geklärt, es kann dort in Minimum vorliegen, oder auch nicht. Auch ohne dass \(H(0,0)\) positiv definit ist.

Wie es nun weitergeht, hängt davon ab, was Ihr in der Vorlesung dazu gesagt habt, welche Kriterien besprochen wurden.

Answer 2

Ich führe die neue Variable \(z=x^3\) ein:

\(f(x,y)=g(z,y)=2z^2-3zy+y^2\). Durch quadratische Ergänzung

bekommt man

\(g(z,y)=(z-3/4y)^2-(1/4y)^2\). Die Substitution

\(u=z-3/4y, \; v=1/4y\) liefert so

\(g(z,y)=h(u,v)=u^2-v^2\).

\(h\) hat in (0,0) einen Sattelpunkt und

damit auch \(f\).

Bedenke hierzu, dass \((x,y)\mapsto (u,v)\)

eine umkehrbare stetige Abbildung

\(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) ist mit \((0,0)\mapsto (0,0)\).