Sind diese zwei Aussagen Falsch oder Richtig?

Question

Ich habe eine zwei Aussagen, jedoch bin ich mir nicht ganz sicher ob sie wahr sind oder nicht. Die Aussagen wären:

1) Eine Kurve y(t) ist differenzierbar <=> y(t) ist rektifizierbar.

2) Eine Kurve y(t) ist Lipschitz-stetig <=> y(t) ist rektifizierbar.

Kann mir jemand helfen?

Comments

Ist die Kurve y : [0,1] -> R^2 mit y(t) = { (t, t*sin(1/t)), falls t != 0 und (0,0), falls t = 0 } ein Gegenbeispiel zu 1), da die Kurve zwar differenzierbar ist, jedoch nicht rektifizierbar ist?

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Ich glaub gerade ein Gegenbeispiel zu 2) gefunden, nämlich die Kurve
y: [0,1] -> R^2 mit y(t) = (t, √t). Diese Kurve ist nämlich rektifizierbar, jedoch nicht Lipschitz-stetig

Answer 1

Ich glaube das erste stimmt. Eine Kurve ist rektifizierbar, wenn sie endlich lang ist. Sprich, wenn du die Bogenlänge berrechnen kannst. Was braucht man für die Bogenlänge ? Man braucht die erste Ableitung ua. Das heißt solange du die berrechnen kannst, sollte die Kurve rektifizierbar sein.

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Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/1027083/kurve-lipschitzstetig-rektifizierbar