Jacobimatrix und Existenz der lokalen Umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

$$\text{Man betrachte die Funktion }f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2, \ f(x,y)=(x+y, x^2-2xy+y^2)\\ \text{Ist der Satz über die Existenz einer lokalen Umkehrfunktionen im Punkt (0,0) anwendbar?}\\ \text{Da die Jacobimatrix im Punkt (0,0) eine Nullzeile hat kann man den Satz nicht anwenden und es gibt somit keine lokale Umkehrfunktion im Punkt (0,0)}\\ \text{Ist das so richtig?}$$

Answer 1

Aloha :)

Die Jacobi-Matrix lautet:$$J_f(x;y)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\2x-2y & -2x+2y\end{array}\right)\quad\implies\quad J_f(0;0)=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}$$

Die Determinante der Jacobi-Matrix an der Stelle \((0;0)\) ist Null (wegen der Nullzeile), daher ist sie nicht invertierbar und dadurch ist eine notwendige Voraussetzung des Satzes über lokale Umkehrbarkeit verletzt.

In deiner Argumentation fehlt mir der Zwischenschritt, dass aus der Nullzeile folgt, dass die Matrix an der Stelle \((0;0)\) nicht invertierbar ist. Sonst alles ok.

Comments

Danke für die schnelle Rückmeldung!

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...eine notwendige Voraussetzung des Satzes über lokale Umkehrbarkeit verletzt".

Vielleicht ist das jetzt nur ungeschickt formuliert, aber nach meinem Stand ist die Invertierbarkeit von J hinreichend, aber nicht notwendig für die Existenz lokaler Umkehrfunktionen.

Habe jedenfalls dazu nirgendwo was gefunden und bin daher an einer Quelle interessiert. Danke.

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Ok, keine Reaktion. Daher hier nochmal im Klartext:

Eine Voraussetzung des Satzes ist nicht erfüllt, daher ist der Satz nicht anwendbar. Das heißt aber nicht, dass es keine lokale Umkehrfunktion gibt. Insofern ist der Teil der obigen Antwort "sonst alles ok" falsch.

Siehe auch die Diskussion unter meiner Antwort.

Answer 2

Dass die Jacobi-Matrix eine Nullzeile hat, heißt nur, dass der SülU nicht anwendbar ist

Das war die Frage. Daraus kannst nicht schließen, dass es keine lokale Umkehrfunktion gibt. Das war aber auch nicht gefragt.

Comments

Wie kann ich denn begründen, dass es keine lokale Umkehrfunktion gibt? Ist ein weiterer Teil den ich nicht hochgeladen hab

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Wie lautet denn die Formulierung der zu zeigenden Beh. wörtlich?

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Das ist die ganze Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitungsmatrix Df(x,y) in beliebigen Punkten und speziell
im Punkt (x,y) = (0, 0).
(b) Ist der Satz über die Existenz einer lokalen Umkehrfunktionen im Punkt (0,0)
anwendbar?
(c) Gibt es eine lokale Umkehrfunktionen von f im Punkt (0, 0)?

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Eine um \((0,0)\) definierte lokale Umkehrfunktion wäre auf \(U=(-a,a)\times (-b,b)\) definiert, wobei \(a,b>0\). Da aber die zweite Komponente von \(f(x,y)\) nie negativ wird, kann das nicht sein (da \((-b,b)\) ja negative Werte enthält).