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Aufgabe:

Gesucht: Allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

A. yy' = x

y(x) = ?

B. y' + x2y = 5x2

y(x) = ?

C. y' = -2xy + 2xy

y(x) = ?

D. y'' - 6y' + 9y = ex

y(x) = ?


Problem:

Könnte jemand mir bitte anhand eines Schemata erklären, wie ich bei derartigen Aufgabentyp vorgehen kann?

Ich danke jeden für jegliche Hilfe.

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Hallo,

A) Trennung der Variablen:

yy'=x ; y'=dy/dx

y *dy/dx =x       → alles mit y auf eine Seite bringen, alles mit x auf die andere Seite bringen.

y dy= x dx ->beide Seiten integrieren

y2/2 = x2/2 +C | *2

y2 =x2 +2C

y= ±  √(x2 +2C)

B) Trennung der Variablen:

y' + x2 y = 5x2

y'= 5x2 -x2 y

y'=x2 (5-y)

blob.png

C) Trennung der Variablen:

y' = -2xy + 2xy2

y'= -2x(y-y2)

blob.pngblob.png


blob.png

D) Ansatz y=ekx

2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen

y'' - 6y' + 9y = ex

->Charakt. Gleichung:

k2 -6k +9=0

k1,2= 3

yh=(C1 x+C2) e^(3x)

yp=A ex ->2 Mal ableiten

yp'= A ex

yp''=A ex

y, yp'. yp'' in die DGL einsetzen:

A ex- 6 A ex + 9A ex = ex

4 A ex= ex | ex≠ 0

4 A = 1

A=1/4

yp= A ex

yp=ex/4

y=yh +yp

Avatar von 121 k 🚀

Für b) habe ich y(x) = 5 - e1/3 * x3 +C

Aber bei c) habe ich Probleme, komme ich nach dem Integrieren nur bis

ln |y2 - y| = x2 + C

y2 - y = ex2 + C

Wie geht man hier weiter vor, damit ich nur auf y komme?

habe b und c ergänzt, siehe oben.

Ich danke sehr für die Zeit und Hilfe von dir!

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