Von abn+c zu rekursiver Formel?

Question

Aufgabe:

Wir sollen die rekursive Formel für die Folge f(n) = abⁿ+c

Problem/Ansatz:

Mein Lösungsansatz:

f(n+1) - f(n) = (abⁿ⁺¹+c) - (abⁿ+c)

f(n+1) - f(n) = abⁿ⁺¹ - abⁿ

f(n+1) - f(n) = abⁿ(b-1)

f(n+1) - f(n) = (b-1)(abⁿ + c - c)

f(n+1) - f(n) = (b-1)(f(n) - c)

f(n+1) = b(f(n) - c)

Die Lösung sollte aber f(n+1) = b(f(n) - c) + c sein. Woher kommt das c?

Comments

Deine letzte Umformung solltest du dir vielleicht noch einmal genauer ansehen.

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Wir sollen die rekursive Formel für die Folge f(n) = abn+c

Und was sollt ihr? Wie lautet die vollständige Frage?

Answer 1

Du hast einen Rechenfehler im letzten Schritt:

$f(n+1) - f(n) = (b-1)(f(n) - c) \Leftrightarrow$

$f(n+1) = (b-1)(f(n)-c) + f(n)$

$= (b-1)(f(n) - c) + (f(n)-c) + c$

$= b(f(n)-c) + c$

Answer 2

f(n) = a·bⁿ + c

Woher kommt das c?

Das steht in der Funktion. Ich habe es dir mal markiert

f(n) = a·bⁿ + c

Zunächst musst du also das c subtrahieren. Dann den Rest mit b multiplizieren und am Ende wieder c aufaddieren.

f(n + 1) = (f(n) - c)·b + c
f(n + 1) = ((a·bⁿ + c) - c)·b + c
f(n + 1) = (a·bⁿ)·b + c
f(n + 1) = a·b^{n + 1} + c

Das war auch gesucht.