Nullstellen berechnen für x^5-4 x^3-1

Question

Aufgabe:

Nullstellen berechnen für folgende Gleichung:

f(x)=x^5-4 x^3-1

Problem/Ansatz:

Bitte keinen graphischen Ansatz, sondern ein rechnerisches Verfahren.

Answer 1

Hallo,

da hilft nur ein Näherungsverfahren, z.B. das Newton-Verfahren.

Ohne die -1 wären +2 und -2 Nullstellen. Daher bieten die beiden sich als Startwert an.

Falls du einen modernen Taschenrechner verwenden darfst, könntest du die Solve-Taste benutzen.

:-)

PS:

Der blaue Punkt (Startwert) kann verschoben werden. Grün und schwarz sind die beiden folgenden Punkte.

Klick auf den Link im Bild, um die Berechnung zu sehen.

Comments

Ohne die -1 wären +2 und -2 Nullstellen.

Ohne die -1 stellt sich kein Problem, da man x^3 ausklammern könnte:

x^3(x^2-4) = 0

x=0 v x = 2 v x= -2

Das wäre wohl zu banal.

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

Answer 2

Hallo :-)

Bei deiner angegebenen Funktion handelt es sich ja um ein Polynom-Ausdruck 5. Grades. Für solche Ausdrücke und Polynome höheren Grades gibt es für die Bestimmung der Nullstellen im Allgemeinen keine geschlossene Lösungsformel. Für einige Spezialfälle kann man zwar noch eine geschlossene Lösungsformel finden, zb für Gleichungen der Form \(0=x^{2k}-x^k-8, \quad k\in \N_{\geq 1}\), indem man mit \(z=x^k\) substituiert und man so eine quadratische Gleichung erhält.

Ansonsten empfiehlt sich ein dir vertrautes Näherungsverfahren (zb Newton, Regula-Falsi, Intervallhalbierung,...) zu nutzen.

Comments

Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort!