Mathe Aufgabe q1 Integralrechnung Fläche mit Tangente

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Der Graph von f mit f(x) = x^{2}, die Tangente an f in P(a | f(a)) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A =$$\frac{1}{3}a^{3}$$

Folgenden Ansatz haben wir in der Schule gerechnet:

1. Tangenten Gleichung.

$$ t(x)=2ax*-a^{2}$$

2. Integral bilden:

$$ \int \limits_{0}^{a}(2ax-a^{2})-(x^{2})dx $$

Wenn man das dann auflöst kommt dann $$\frac{1}{3}a$$ raus.

Meiner Meinung nach ergibt das keinen Sinn, da man lediglich beweist, dass der Flächeninhalt der blauen und roten Fläche gleich $$\frac{1}{3}a$$ ist. Die rote und grüne Fläche ergeben ja zusammen 0.

Wo liegt da mein Denkfehler?

Answer 1

Deine Tangentengleichung ist falsch. Sie stellt eine Ursprungsgerade dar. Aber vermutlich war das "*" nur ein Tppfehler.

Du musst die Differenz aus der linearen Funktion und der quadratischen Funktion integrieren.

Das hast du gemacht, und das Ergebnis ist das Gesamte, was du grün und blau gefärbt hast.

Comments

Ja, war nur ein Tippfehler. Im integral habe ich es ja auch richtig eingesetzt.

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Ist es nicht die Fläche von blau und rot? Wenn man t(x) in diesem Bereich integriert kommt ja 0 raus. Wenn man also \( \int\limits_{0}^{a} \)f(x)-t(x)dx rechnet, ist das Ergebnis eigentlich nur f(x), was dem blauen und roten Flächeninhalt entspricht.

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Die rote Fläche interessiert nicht!

Stelle dir mal vor, dass die gesamte Funktion einschließlich ihrer Tangente so weit nach oben verschoben wird, dass die Fläche vollständig im ersten Quadranten liegt. Dann gibt es kein grün oder blau, sondern komplett blau.