Finden Sie eine geeignete messbare Funktion

Question

Aufgabe:

(a) Seien $$(X, \mathcal{A}):=(\{1,2,3\}, \sigma(\{1\}))$$ und $$(Y, \mathcal{B}):=(\{1,2\}, \mathcal{P}(Y))$$.
(i) Finden Sie eine surjektive Funktion $$f: X \rightarrow Y$$, die $$(\mathcal{A}-\mathcal{B}$$-)messbar ist.
(ii) Finden Sie eine Funktion $$g: X \rightarrow Y$$, die nicht $$(\mathcal{A}-\mathcal{B}$$-)messbar ist.

Problem/Ansatz:

Zu i) wäre f(1)=1 f(2)=2 und f(3)=1 möglich? weil die Urbilder wieder in A liegen

zu ii) da fällt mir nichts ein

Answer 1

Hallo,

versuchs mal mit \(g(1) = g(2) = 1, g(3) = 2\). Was ist dann \(g^{-1}(\lbrace{1\rbrace})\)?

Comments

Die leere Menge?

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Ne es muss {2,3} sein oder?

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Du solltest dir dringend anschauen wie das Urbild definiert ist, z.B. hier.

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Dann ist es 1 oder nicht?

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Du hast dir die Definition scheinbar nicht angeschaut.

Es ist \(g^{-1}(\lbrace{1\rbrace}) = \lbrace{x\in X: \,g(x)\in \lbrace{1\rbrace}\rbrace} =  \lbrace{x\in X: \,g(x)=1\rbrace}\). Welche Elemente aus \(X\) werden also unter \(g\) auf \(1\) abgebildet?

Außerdem ist deine zu i) vorgeschlagene Funktion nicht \((\mathcal{A}-\mathcal{B})\)-messbar, da \(f^{-1}(\underbrace{\lbrace{1\rbrace}}_{\in\mathcal{B}}) = \lbrace{1, 3\rbrace}\notin\mathcal{A} \)

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Das liegt nicht an dir sondern an mir. Ich checke das irgendwie alles nicht so richtig. Wieso ist denn jetzt f({1})^-1={1,3}?

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Deine bei i) definierte Funktion \(f: X\to Y\) war doch gegeben durch

\(f(1)=1, f(2)=2\) und \(f(3)=1\). Nun enthält \(f^{-1}(\lbrace{1\rbrace})\) genau diejenigen Elemente aus \(X\), die unter \(f\) auf \(1\) abgebildet werden. Das sind ja offensichtlich \(1\) und \(3\), also ist \(f^{-1}(\lbrace{1\rbrace}) = \lbrace{1,3\rbrace}\).

Da aber \(\mathcal{A} = \sigma(\lbrace{1\rbrace}) = \lbrace{\emptyset,\lbrace{1,2,3\rbrace}, \lbrace{1\rbrace}, \lbrace{2,3\rbrace}\rbrace}\) gilt eben nicht

weil die Urbilder wieder in A liegen

oder genauer: \(f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\) für alle \(B\in\mathcal{B} = \mathcal{P}(Y)\),

denn \( f^{-1}(\lbrace{1\rbrace}) \notin \mathcal{A}\). Dementsprechend ist deine für i) vorgeschlagene Funktion kein Beispiel wie gefordert, da \(f\) nicht \((\mathcal{A}-\mathcal{B})\)-messbar ist.

Versuch das erstmal nachzuvollziehen und melde dich dann wieder mit Fragen zu ii).

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Ich hab es jetzt verstanden. Vielen Dank :)

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g^-1({1})={1,2} das ist nicht in A

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Ja, das passt jetzt. Deine Funktion in i) müsstest du dann noch entsprechend anpassen, damit sie messbar ist.

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f(1) = 2 f(2)= 1und f(3)=1

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Perfekt, scheinst es verstanden zu haben :)

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Ja vielen Dank :)