Existiert die Summe der Reihe?

Question

Hallo, ich habe hier ein ziemlich kniffliges Beispiel: Für welches x∈ℝ ist die Reihe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{3x^n}{2+x^{4n}}} \)

konvergent und für welche divergent? Ich verstehe das leider auch gar nicht. Hat jemand einen Rechenweg für mich? Wäre sehr hilfreich.

Comments

Für die Konvergenz der Reihe ist notwendig, dass

$$ \frac{3x^n}{2+x^{4n}} \stackrel{n\to \infty }{\longrightarrow} 0 $$

Untersuche vielleicht zuerst, für welche \( x \) das überhaupt gilt.

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wieso muss es gegen null gehen? kann es nicht auch gegen einen anderen wert gehen?

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Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, dass die Folge der Summanden gegen 0 geht.

Answer 1

Konvergent:

Der Betrag des Bruchs muss kleiner 1 sein.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Comments

Es ist notwendig, dass der Bruch gegen 0 geht. Dass er dann auch -betraglich - kleiner 1 wird ist doch eine Banalität.

Es liegt auch keine geometrische Reihe vor.

Answer 2

Es gibt verschiedene Wege. Ein Weg ist das Majorantenkriterium.

Dabei legt das allgemeine Reihenglied \(\frac{3x^n}{2+x^{4n}}\) nahe, als Majorante eine geometrische Reihe zu benutzen.

Wir suchen also nach Abschätzungen der Form

$$\left|\frac{3x^n}{2+x^{4n}}\right| \leq Cq^n$$

mit einer Konstanten \(C\) und \(0<q<1\), wobei \(q\) selbstverständlich von \(x\) abhängen darf.

Jetzt macht es Sinn, 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: \(|x| <1\)

\(\left|\frac{3x^n}{2+x^{4n}}\right| \stackrel{2+x^{4n}\geq 1}{\leq} 3\left|x\right|^n \Rightarrow\) konvergent

Fall 2: \(|x| >1\)

\(\left|\frac{3x^n}{2+x^{4n}}\right| \stackrel{2+x^{4n}\geq x^{4n}}{\leq} 3\frac{|x|^n}{|x|^{4n}} =3  \left(\frac 1{|x|^3}\right)^n\Rightarrow\) konvergent

Fall 3: \(|x| =1\)

\(\left|\frac{3x^n}{2+x^{4n}}\right| \stackrel{|x|=1}{=} \frac 33 =1  \Rightarrow\) divergent