Durch Integrieren die Steigung einer schneidenden Gerade berechnen

Question

Aufgabe:

Ich habe die Aufgaben, dass die Funktion f(x)=x^3 von einer Geraden geschnitten wird, die durch den Ursprung geht. Ich soll die Steigung der Gerade so berechnen, dass der Flächeninhalt im 1. Quadranten 9/4 FE beträgt.

Ich komm nicht mehr weiter:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f(x)=x^{3} \\ F(x)=\frac{1}{4} x^{4} \quad a>0 \\ \int \limits_{0}^{a} x^{3}-m \cdot x=\frac{9}{4} \\ \int \limits_{0}^{a} x^{3}-m \cdot x=\frac{9}{4} \\ {\left[\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2} \cdot m\right]_{0}^{a}=\frac{9}{4}} \\ \frac{1}{4} a^{4}-\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot m=\frac{9}{4}\end{array} \)

Answer 1

Die Gerade muss positive Steigung m haben

und liegt oberhalb der Kurve.

Also erst mal die obere Intervallgrenze ausrechnen

x^3 - mx = 0

Gibt  x =√m .

Dann ist der Ansatz:

\(  \int \limits_{0}^{\sqrt{m}} (x^{3}-m \cdot x )dx =\frac{-9}{4} \)

\(  {\left[\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2} \cdot m\right]_{0}^{\sqrt{m}}=\frac{-9}{4}}\)

\( \frac{1}{4} m^{2}-\frac{1}{2} \cdot m \cdot m=\frac{-9}{4} \)

\( -\frac{1}{4} m^{2}=\frac{-9}{4} \)

Also m=3

sieht dann so aus: ~plot~ x^3; 3x ~plot~

Comments

Danke dir! Aber warum -9/4?

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Du musst doch für den Flächeninhalt immer rechnen

obere Funktion minus untere Funktion.

Also wenn du es andersherum machst der Maßzahl

ein Minus spendieren.

Answer 2

\(f(x)=x^3\)     \(g(x)=mx\)

Schnittstellen berechnen:

\(x^3=mx\)

\(x^3-mx=0\)

\(x(x^2-m)=0\)

\(x_1=0\)

\(x_2=\sqrt{m}\)   Die negative Stelle entfällt.

Differenzfunktion:

\(d(x)=mx-x^3\)

\(\frac{9}{4}= \int\limits_{0}^{\sqrt{m}}(mx-x^3)dx=[\frac{m}{2}*x^2-\frac{1}{4}x^4]_{0}^{\sqrt{m}}=[\frac{1}{2} m^2-\frac{1}{4} m^2]-0=\frac{1}{4}m^2\)

\(m^2=9\)

\(m_1=3\)    Minuswert entfällt.