Exponenetialreihe werte bestimmen

Question

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Aufgabe 11 (9 Punkte)
\( \square 0 \square 1 \square 2 \square 3 \square 4 \square 5 \square 6 \square 7 \square 8 \)

Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen.
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{8}{k !}=\quad \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{6}{n^{2}}=\pi^{2}-6 \quad \sum \limits_{k=0}^{\infty} \sum \limits_{j=0}^{\infty} \frac{2}{k ! j !}=2 \mathrm{e}^{2} \\ \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k-2}{k !}=2-\mathrm{e} \quad \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{2}{(k+2) k}=\frac{3}{2} \quad \sum \limits_{k=3}^{\infty} \frac{2}{(k+2) k}=\frac{7}{12} \\ \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k-1}{k !}=\square \quad \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{k !}=\square \quad 1 \quad \sum \limits_{k=0}^{5} \frac{k-1}{k !}=-\frac{1}{120} \\ \end{array} \)

Aufgabe:

Hallo,

Bei den oberen Exponentialgleichungen komme ich leider nicht auf das Ergebnis. Wie müsste man rechnen? Auf die 2. bin ich zum Beispiel überhaupt nicht gekommen und im Internet finde ich leider keine ähnlichen Aufgaben

Comments

Das sind mir zu viele Aufgaben zur Beantwortung.

Bei der zweiten Summe sollte man \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\) kennen oder zumindest schon mal was vom "Basler Problem" gehört haben.

Answer 1

Die erste ist doch recht einfach:

\(  \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{8}{k !} = 8 \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \)

Und die Reihe hat Grenzwert e, also deine Reihe 8e.

Hierzu und zu 2 siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Alternierende_harmonische_Reihe

\( \quad \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{6}{n^{2}}=\pi^{2}-6 \)

Erst mal wieder die 6 rausziehen:

\( \quad \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{6}{n^{2}}=  6 \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = 6( -1 + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} )= 6 ( -1 +\frac{\pi^2}{6} )=\pi^{2}-6  \) 

Bei der 3. schau mal nach Cauchyprodukt von Reihen.