Wie bestimme ich die Ableitungen der Funktionen f(x) = e^x / x, f(x) = x ln x,…

Question

Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

a) f(x)= e^x/ x

b) f(x)= ln(2x²+3x+5)

c) f(x)= (√x²) ^1/5

d) f(x)= x ln x ; x>0

Answer 1

Hier musst du die Produktregel und die Kettenregel anwenden.

Produktregel: Wenn f(x)=u(x)*v(x) gilt, dann ist die Ableitung

f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

Kettenregel: Wenn f(x) = u(v(x)) gilt, dann ist die Ableitung

f'(x) = u'(v(x))*v'(x)

Eine besondere Kombination der beiden ist die Quotientenregel, du kannst dir ja mal überlegen, wie sie aus den beiden oberen Regeln folgt:

Wenn f(x) = u(x)/v(x) gilt, dann ist die Ableitung:

f'(x) = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v(x)²

 

a) Hier brauchst du die Quotientenregel. Setzt du u(x)=e^x und v(x)=x, dann erhältst du:

f'(x) = (e^xx - e^x)/x² = e^x*(x-1)/x²

b) Hier brauchst du die Kettenregel. Setzt du u(x) = ln(x), v(x) = 2x²+3x+5, dann erhältst du:

f'(x) = (4x+3)/(2x²+3x+5)

c) Hier kannst du erstmal √x² zu x vereinfachen (falls x>0 gilt, ansonsten ist die Funktion aber wegen der Unklarheit der Reihenfolge Wurzelziehen und quadrieren nicht wohldefiniert), dann bleibt x^1/5 übrig und man erhält die Ableitung:

f'(x) = 1/5 x^-4/5

d) Hier brauchst du die Produktregel:

f'(x) = ln(x) + 1

Comments

bei d) hab ich 1*lnx+ln*x  raus kann ich das auch so schreiben?

Answer 2

ausführlich zu d) f(x)= x ln x                 u=x        v=lnx

f '(x) = u'v + uv'

        =1* ln x + x *(1/x)                       im zweiten Summanden kürzt sich x weg

        = lnx + 1

Julian Mi's Resultat stimmt. Bei deiner Umformung (Anonym) stimmt etwas nicht.