Bestimmen Sie alle Eigenräume der linearen Abbildung L: M_{2\times2}(ℝ) \mapsto M_{2\times2}(ℝ)

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie alle Eigenräume der linearen Abbildung \(L: \,M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mapsto M_{2\times2}(\mathbb{R}), \quad L(A) = 3tr(A) \mathbf{1}_2 - 2A^T\)

Die \(\mathbf{1}_2\) steht hier für die Identitätsmatrix, irgendwie haut das \mathbb{1} hier nicht hin...

Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich die Darstellungsmatrix \([L]\) bestimmt:

$$[L] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

und anschließend über das charakteristische Polynom \(\mathcal{x}_L(\lambda) = 0\) die richtigen Eigenwerte \(\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 2\) herausbekommen.

Nun will ich den Eigenraum \(E_{-2}\) bestimmen:

Dazu bestimme ich zuerst die Eigenvektoren zu \(\lambda_1 = 2\) mit \((L + 2 \cdot \mathbf{1}_2)\cdot v = 0\). Über die Matrizenschreibweise bekomme ich dann als Lösung für das LGS mit \(v = (x, y, z, w)\) die Lösung \(x = -w, \, y = z\) raus.

Somit wären meine Eigenvektoren einmal \((1, 0, 0, -1)\) und einmal \((0, 1, 1, 0)\) und mein Eigenraum logischerweise \(E_{-2} = span\{(1, 0, 0, -1), (0, 1, 1, 0)\}\). Die Lösung zeigt allerdings Matrizen als Einträge des spans. Laut Lösung ist der Eigenraum also \(span\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}\)

Wie kann es sein, dass der Eigenraum durch Matrizen aufgespannt wird? Löse ich die Gleichung \((L + 2 \cdot \mathbf{1}_2)\cdot v = 0\) für die Eigenvektoren so können ja nur Vektoren bzw. 4x1 Matrizen rauskommen. Wie soll ich denn da auf 2x2 Matrizen kommen?

Ich habe mir auch versucht, das anschaulich zu erklären: Eine lineare Abbildung in \(\mathbb{R}\) ordnet jedem Vektor einen anderen Vektor zu - bspw. den gleichen Vektor um 90° gedreht um die x-Achse. Somit steht diese lineare Abbildung für die Rotation um 90° um die x-Achse, da alle Vektoren rotiert werden. Jetzt bin ich hier aber im Matrizenraum \(M_{2\times2}(\mathbb{R})\). Also ordnet \(L\) hier jeder Matrix wieder eine andere Matrix zu. Was soll das aber anschaulich bedeuten, wenn eine Matrix selbst für eine Transformation im Raum steht? Wird also einer Transformation A eine andere Transformation B zugeordnet, oder wie lässt sich das geometrisch verstehen?

Answer 1

Betrachte die gegebene Abbildung:

\(L: \,M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mapsto M_{2\times2}(\mathbb{R}), \quad L(A) = 3tr(A) \mathbf{1}_2 - 2A^T\)

Da werden 2x2 Matrizen auf 2x2 Matrizen abgebildet.

Also sind die Eigenvektoren auch 2x2 Matrizen.

Comments

Das macht schon Sinn, aber wie komme ich denn rechenrisch auf die Eigenvektoren als Matrizen? Löse ich ganz normal die Gleichung \((L + 2 \cdot \mathbf{1}_2)\cdot v = 0 \) nach \(v\) auf und schreibe die Komponenten dann einfach in eine Matrix, oder wie mache ich das?

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Du scheinst den Zusammenhang mit der darstellenden Matrix [L] aus den Augen verloren zu haben. Diese stellt doch die lineare Abbildung L mit Hilfe von Koordinatenvektoren für die Standardbasis von \(M_{2 \times 2}(\R)\) dar. Dementsprechend sind die Eigenvektoren von [L] Koordinatenvektoren für die entsprechenden Matrizen.

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Achsoo, also bekomme ich aus den Eigenvektoren \((1,0,0,-1)\) und \((0,1,1,0)\) dann die beiden Elemente \(e_1 = E^{1,1} - E^{2,2}, e_2 = E^{1,2} + E^{2,1}\) die dann den span \(span\{e_1, e_2\}\)ergeben (unter Verwendung der Standardbasis zu M2x2, wobei E^{i,j} der Matrix entspricht die an der Stelle i,j eine 1 und sonst nur Nullen stehen hat). Vielen Dank, so macht das Sinn!