Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen(Isometrien)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen(Isometrien)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Seien \( V \) und \( W \) euklidische Vektorräume und \( \varphi: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) Für alle \( x, y \in V \) gilt: \( x \perp y \Longrightarrow \varphi(x) \perp \varphi(y) \).
ii) Für alle \( x, y \in V \) gilt: \( \|x\|=\|y\| \Longrightarrow\|\varphi(x)\|=\|\varphi(y)\| \).
iii) Es gibt eine reelle Zahl \( c \geq 0 \), sodass für alle \( x \in V \) gilt: \( \|\varphi(x)\|=c\|x\| \).
iv) Es gibt eine lineare Isometrie \( \psi: V \rightarrow W \) und eine reelle Zahl \( c>0 \) mit \( \varphi=c \psi \) oder \( \varphi \) ist die Nullabbildung.

Ansatz:

iv) -> iii) Wenn φ die Nullabbildung, erfüllt c=0 die erfüllte Eigenschaft. Sei nun c>0 . Dann gibt es zu φ eine Isometrie ψ , sodass φ= c* ψ und c reell.

Dann gilt ||φ(x)||= |c|*||ψ(x)||=c*||x|| , da c reel und ψ eine Isometrie laut iv.

iii -> ii) Nach iii) gilt ||φ(x)|| = c||x|| für ein c>=0 und alle x element V, also da ||x||=||y|| : ||φ(x)|| = c||x||=c||y||=|||φ(y)||

Weiter bin ich nicht gekommen, habt ihr da tipps und stimmt mein Ansatz? Kommt mir bisher zu leicht vor XD

Comments

Hallo, das ist soweit richtig.

Insgesamt wird man versuchen, einen Ringschluss durchzuführen. So wie Du angefangen hast, wäre das

4->3->2->1->4

Aus meiner Sichr wäre die Reihenfolge aus der Aufgabenstellung einfacher, aber das mag Geschmackssache sein.

PS Ich sehe gerade, dass Du damit schon angefangen hast

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Mein Problem ist halt, egal ob ich 1 -> 2 -> 3 ->4->1 mache oder umgekehrt, mir fehlen jeweils zwei Beweise :( Solche Aufgaben mag ich irgendwie nicht

Answer 1

Ich gehe mal von einem reellen Skalarprodukt-Raum aus

Aus i) folgt ii):

Sei als \(\|x\|=\|y\|\), dann folgt

$$\langle x+y,x-y\rangle=\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle-\langle y,y\rangle=\|x\|^2-\|y\|^2=0$$

Also folgt (ich schreibe f statt phi):\(f(x+y) \perp f(x-y)\). Damit (analog zu oben)

$$0=\langle f(x+y),f(x-y)\rangle=\langle f(x)+f(y),f(x)-f(y)\rangle=\|f(x)\|^2-\|f(y)\|^2$$

Comments

Danke. Umgekehrt, also ii->i ist wohl eher schwerer?

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Du kannst für die Umkehrung so ansetzen: Wenn x und y senkrecht sind, was folgt dann für die Normen von x+y und von x-y?