nicht fairer Würfel, Wahrscheinlichkeit zeigen

Question

Problem/Ansatz:

Ich habe eine eine Frage bezüglich dieser Aufgabe: wieso kann man nicht einfach n * p₁^k1 * p₂^k2 * p₃^k3 * p₄^k4  für die Wahrscheinlichkeit annehmen?

verstehe nicht ganz wieso ich da das n über k₁,k₂,k₃,k₄ brauche?

Vielen Dank!

Text erkannt:

Aufgabe 6. Es wird ein unter Umständen nicht fairer Tetraeder-Würfel geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis eines Wurfes \( i \) ist, beträgt \( p_{i} \in[0,1], i \in\{1,2,3,4\} \). Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit bei \( n \)-maligen Werfen \( k_{1} \)-mal einen Einser, \( k_{2} \)-mal einen Zweier, \( k_{3} \)-mal einen Dreier und \( k_{4} \)-mal einen Vierer zu würfeln
\( \left(\begin{array}{c} n \\ k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4} \end{array}\right) p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} p_{3}^{k_{3}} p_{4}^{k_{4}} \)
beträgt, wobei \( k_{1}, \ldots, k_{4} \in\{0, \ldots n\} \) mit \( k_{1}+\cdots+k_{4}=n, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \in[0,1] \) mit \( p_{1}+ \) \( p_{2}+p_{3}+p_{4}=1 \) und
\( \left(\begin{array}{c} n \\ k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4} \end{array}\right)=\frac{n !}{k_{1} ! \cdots k_{4} !} \)
ist der sogenannte Multinomialkoeffizient.

Answer 1

Schon in dem Sonderfall der Binomialverteilung hast du statt einem n ein n über k.

Es gibt für 4 Einsen nur einen Pfad und für 4 verschiedene Zahlen 24 Pfade. Das ist also nicht immer 4.

Answer 2

Du musst alle möglichen Reihenfolgen berücksichtigen, das macht der Binomialkoeffizient.

Mach dir ein Zahlenbeispiel:

n= 20, k1= 4, k2=6, k3= 7, k4= 3