Komplexe Menge identifizieren

Question

Ich sollte diese komplexe Menge skizzieren und ich hab da einen Ansatz gestellt. Die Frage ist, was habe ich da falscg gemacht?

Text erkannt:

d) \( M_{4}=\left\{z \in \mathbb{C} \operatorname{larg}\left(z^{-1}\right)<\frac{\pi}{2}\right\} \)

Sei \( z=x+y \cdot i \), so ist \( z^{-1}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}} i \&\left|z^{-1}\right|=|z|^{-1}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \).
Es gilt \( \operatorname{Re}\left(z^{-1}\right)=\cos \left(\arg \left(z^{-1}\right)\right)|z|^{-1} \)
\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\cos \left(\arg \left(z^{-1}\right)\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ \Leftrightarrow x \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\cos \left(\arg \left(z^{-1}\right)\right)\left(x^{2}+y^{2}\right) \\ \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\cos \left(\arg \left(z^{-1}\right)\right) \\ \Leftrightarrow \arg \left(z^{-1}\right)=\arccos \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) ! \frac{\pi}{2} \end{array} \)

Answer 1

Eine Skizze sehe ich da nicht.

Und weißt Du überhaupt, was \(arg\) bedeutet? Wenn ja, dann sollte auch sofort \(arg(\frac1z)=-arg(z)\) und damit die Skizze klar sein.

Comments

Ja die Skizze kenne ich ja noch nicht. Wie kommst Du auf die Gleichheit arg(1/z) = -arg(z) ?

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Nochmal: Weißt Du, was \(arg(z)\) bedeutet? Was die Polardarstellung ist? Und kannst Du damit \(\frac1z\) bilden?

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Ja arg(z) ist ja der Winkel von z, den dieser vom Ursprung aus einschliesst. Sei

z = x + yi eine komplexe Zahl, so ist die Polardarstellung

z = |z| (cos(arg(z)) + sin(arg(z))

z^-1 müsste ja dann von dem der Kehrwert sein

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Das ist nicht die Polardarstellung, sondern die kartesische (und das \(i\) fehlt noch). Die Polardarstellung ist \(z=r\,e^{i\,\varphi}\),

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Ja also ich meinte z = |z| (cos(arg(z)) + sin(arg(z))*i) = |z|*exp(i*arg(z))

Somit ist ja 1/z = 1/|z| * exp(-i*arg(z))

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Aha, dann sollte alles klar sein, oder?

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Ja aber wie kommt man jetzt auf diese Gleichheit davon?

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Was für ne Gleichheit? Ich hab das \(arg\) als Winkel gemeint, streng genommen ist \(arg\) der Eindeutigkeit wegen in einem Intervall festgelegt. Spielt aber für die Skizze keine Rolle (weil die Zahl dieselbe bleibt).

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Achso weil da ja jetzt -i*arg(z) steht bei z^-1, ist also arg(z^-1) = -arg(z), oder?

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Ja, man liest doch den Winkel im Exponenten ab.

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Okay also ist dann die Menge {z aus C: arg(z^-1) < pi/2} = {z aus C : arg(z) < -pi/2}

und -pi/2, ist ja dann 3pi/2. Also {z aus C: arg(z) < 3pi/2} und das wäre der erste, zweite und dritte Quadrant in der Zahlenebene. Richtig?

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Es kommt hier auf die genaue(!) Def. von \(arg\) an, schau in Deine Unterlagen (die Def. ist nicht einheitlich). Und am Ende muss man für die Elemente von \(M_4\) das Argument auch gemäß dieser Def. angeben. Auch sind es sowieso nicht einfach Quadranten, sondern es kommt auch darauf an, welche Ränder dazu gehören (auch das hängt von der genauen Def. ab). Also, sorgfältig vorgehen.

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arg(z) ist ja der Winkel der komplexen Zahl z beliebig, das diese vom Ursprung aus mit der Achse einschließt. Dabei ist der Winkel arg(z) aus der Menge [0,2π). D.h. der kann nur positiv sein. In dem Falle heisst es arg(z) soll echt kleiner als -π/2 sein. D.h. es muss also kleiner als 3π/2, d.h. damit sind alle komplexen Zahlen gemeint, welche von der positiven reelen Achse bis zur negativen imaginären Achse platziert sind. Natürlich darf die negative imaginäre Achse nicht dabei sein, da es ja echt kleiner als 3π/2 sein soll.

Also ist das die Menge M_4 = {z aus C: arg(z) < 3π/2}

Die Skizze wäre dann halt alle Ebenen ausser dem 4. Q und der negativen Im-Achse

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Ok, es gibt auch Def. mit \([-\pi,\pi)\), daher hab ich gefragt.

Beachte, der Winkel einer Zahl ist nicht eindeutig, aber - so verstehen wir es hier, sonst macht es keinen Sinn - das arg schon. Ich komme auf was anderes. Also, sorgfältig:

\(0\le arg(z)<2\pi \iff ... -arg(z)... \iff ...arg(-z)...\)

Beachte, dass im letzten Schritt \(-arg(z)\neq arg(-z)\) ist, wg der Normierung. Stelle dann um nach \(arg(z)\) um zu sehen, welche \(z\) das erfüllen.

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Ich danke Dir erstmal, das Du mir hilfst!

Zur Aufgabe: Ich glaube, ich habe mich vertan. Also nochmal: Bei uns ist das Argument eine Zahl im Intervall [0,2π). Ich werde das jetzt mal dementsprechend auswerten.

Es soll ja nach der Mengenvorschrift gelten: 0 ≤ arg(1/z) < π/2

<=> 0 ≤ -arg(z) < π/2,

da ja arg(1/z) = -arg(z) ist.

=> 0 ≥ arg(z) > -π/2

Da ja nach unsererm Skript arg(z) aus [0,2π) sein soll, rechnet man auf beiden Seiten (+2π) und das liefert dann insgesamt:

3π/2 ≤ arg(z) < 2π

D.h. M hat alle z aus C, wessen arg(z) aus [3π/2,2π) ist.

Damit ist M = {z aus C: arg(z) aus [3π/2,2π)}

Also müsste M dann in der Zahlenebene dann doch der 4. Quadrant sein, was die Menge angeht, ausser halt der positiven reelen Achse.

Ist das jetzt richtig?

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Fast. Ich hatte das Muster logisch andersrum aufgeschrieben, aber ok, geht auch so.

In

das liefert dann insgesamt:
3π/2 ≤ arg(z) < 2π

sind die \(\le\) bzw. \(<\)-Zeichen falsch; richtig ist 3π/2 < arg(z) ≤ 2π

Am Ende stimmt der Quadrant, aber am Rand ist es anders.

Noch eine Bemerkung: Die Bedingung \(0<..<\frac\pi2\) schränkt den Winkelbereich auf \(\frac14\) ein, woraus man schon ahnen kann, dass am Ende nur ein(!) Quadrant rauskommt (die Umformungen klappen den Bereich ja nur um).

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Jetzt macht es für mich auf jeden Fall mehr Sinn als zuvor :)

Ich danke Dir nochmal!

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Gerne, freut mich geholfen zu haben.