Gesucht ist größtmöglicher Quader

Question

Ich weiß nicht, ob das Forum hier das richtige ist. Aber ich versuch's mal trotzdem.: Wie groß ist das größtmögliche Volumen eines Quaders, dessen größte und die kleinste Fläche zusammen nicht größer als 100 sein sollen? Kann man diese Aufgabe mit den Methoden der Schulmathematik lösen oder ist das schon universitäre Mathematik?

Answer 1

Das lässt sich denke ich mit Schulmathematik lösen.
Ich bennene die Seiten a, b und c mit a als Größte und c als kleinste Seite. Dann gilt
a·b + b·c = 100
b = 100/(a + c)

Also gilt für das Volumen

V = a·b·c = a·100/(a + c)·c = 100·a·c / (a + c)

Wir tun mal so als sei a konstant und suchen jetzt ein c für das das Volumen maximal ist.

dV/dc = 100·a^2/(a + c)^2
Das ist jetzt immer positiv. Also nimmt das Volumen mit steigendem c immer weiter zu. Daher denke ich mal das der Würfel das größtmögliche Volumen hat.

Comments

+++Daher denke ich mal, dass der Würfel das größtmögliche Volumen hat.+++ Das dachte ich zunächst auch, aber das ist falsch: Ein Würfel, bei dem eine Fläche die Größe 50 hat (wg. 100:2), hat eine Kantenlänge von √50 ≈ 7,07 und somit ein Volumen von √125.000 ≈ 353,55. Ein Quader mit den Seitenlänegn a=5,5 b=5,5 und c=12 hat bspw. ein Volumen von V = 363 > 353,55 (und 12*5,5 + 5,5*5,5 = 96,25 < 100). Im Übrigen frage ich mich, ob es korrekt ist anzunehmen, dass die größte und kleinste Fläche beim gesuchten Quader wirklich zusammen 100 ergeben müssen...

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Oh. Das ist interessant. Dann muss ich da nochmal drüber nachdenken.

Im Übrigen frage ich mich, ob es korrekt ist anzunehmen, dass die größte und kleinste Fläche beim gesuchten Quader wirklich zusammen 100 ergeben müssen...

Vielleicht lag genau dort mein Denkfehler ... 

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@Mathecoach: Die Formel für das Volumen hast du ja schon aufgestellt: \(V=\frac{100ac}{a+c}.\) Wenn man jetzt annimmt, dass eine der beiden Variablen konstant ist, dann kann man die andere Variable immer weiter vergrößern und auch V wird immer größer; die Funktion ist also unbeschränkt. Oder nicht?

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Nein. Ich war ja davon ausgegangen das c kleiner ist als a. Allerdings habe ich den Fehler gemacht. Ich darf c nicht erhöhen wenn b dann nicht zwischen c und a liegt.

Ich glaube das fehlt mir als Bedingung.

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Oh, das habe ich auch vergessen. D.h. man hat folgendes Maximierungsproblem: \(\max \frac{100ac}{a+c}\) unter den Nebenbedingungen \(a\geq \frac{100}{a+c}, c\leq \frac{100}{a+c}.\)

Aber selbst dann gibt es laut Wolframalpha kein Maximum: https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+abc+in+a%3E%3Db%2C+c%3C%3Db%2C+ac%2Bbc%3C%3D100%2C+a%3E%3D0%2C+b%3E%3D0%2C+c%3E%3D0

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Hier ist doch b 2 Mal in der Ungleichung. Sieht aber bei Wolframalpha grauenhaft aus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+abc+in+a%3E%3Db%2F%28a%2Bc%29%2C+c%3C%3Db%2F%28a%2Bc%29%2C+ab%2Bbc%3C%3D100%2C+a%3E%3D0%2C+b%3E%3D0%2C+c%3E%3D0

Etwas einfacher:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+abc+in+a+%3C%3Db%2C+b+%3C%3D+c%2C+ab%2Bbc%3C%3D100%2C+a%3E%3D0%2C+b%3E%3D0%2C+c%3E%3D0

c ist hier doppelt so gross wie a und b.

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So sollte das ganze funktionieren:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize%5B%7B100+%28%28a+c%29%2F%28a+%2B+c%29%29%2C+a+%3E+0+%26%26+c+%3E+0+%26%26+c+%3C+100%2F%28a+%2B+c%29+%3C+a%7D%5D

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Ich hatte einen Fehler bei der Eingabe, deswegen hat das nicht funktioniert.

Bleibt die Frage, ob das Lösen dieses Optimierungsproblems wirklich noch Schulmathematik ist. ;-)

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Der größte Quader, den ich gefunden habe, hat die Kantenängen a = b = 5,77 und c = 11,55. Er hat ein Volumen von V = 384,9. (5,77*11,55 + 5,77*5,77 = 99,9364 < 100) Durch "Justieren" der Nachkommastellen lassen sich das Volumen und die Oberfläche natürlich noch etwas vergrößern. Die Frage ist nur: Müssen die kleinste und die größte Fläche tatsächlich 100, also das Maximale, ergeben?

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Ja. Wolframalpha kommt ja auch auf die Lösung

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Die Frage ist nur: Müssen die kleinste und die größte Fläche tatsächlich 100, also das Maximale, ergeben?

Ich denke schon. Denn ansonsten ließe sich das Volumen noch vergrößern indem man die Längste Seite noch etwas größer macht.

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Gott sei Dank, dann bin ich doch nicht so dumm, wie ich dachte. Dann hat sich auch die Frage erübrigt, ob die beiden Flächen addiert wirklich 100 ergeben müssen. Danke übrigens für die Seite wolframalpha.com; die kannte ich noch gar nicht. Und ja, die Aufgabe lässt sich wirklich noch mit Schulmathematiklösen (wenn auch auf einem sehr hohen Niveau).