Begründen Sie ohne Rechnung, warum die Geraden {g}1 und {g}2 in der Ebene {E} liegen.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

22. a) Gegeben ist eine Ebene E durch die Parameterdarstellung $\vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$.
Begründen Sie ohne Rechnung, warum die Geraden $\mathrm{g}_{1}$ und $\mathrm{g}_{2}$ in der Ebene $\mathrm{E}$ liegen.
$\mathrm{g}_{1}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) ; \mathrm{g}_{2}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)$
b) Gegeben ist eine Ebene durch die Parameterdarstellung $\vec{x}=\vec{a}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}$.
Begründen Sie, warum die Geraden in der Ebene liegen.
(1) $g: \vec{x}=\vec{a}+t \cdot \vec{u}$
(2) $g: \vec{x}=\vec{a}+t \cdot \vec{v}$
(3) $g: \vec{x}=\vec{a}+\vec{u}+t \cdot \vec{v}$
(4) $g: \vec{x}=\vec{a}+3 \vec{v}+t \cdot \vec{u}$
c) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Ebene an, die oberhalb der $x_{1} x_{2}$-Ebene im Abstand von fünf Einheiten parallel zu ihr verläuft. Bestimmen Sie Parameterdarstellungen für drei Geraden, die in dieser Ebene liegen.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich geschrieben, dass der Ortsvektor gleich ist und die Vektoren ebenfalls, und dass es deswegen in der Ebene liegt.

Bei b) habe ich das gleiche gesagt

- Ist das so richtig?

Und bei c) weiß ich nicht wie ich genau ran gehen soll.

Answer 1

a) passt so. Die Richtungsvektoren sind Spannvektoren der Ebene.

Bei b) solltest du etwas mehr ins Detail gehen, warum sie drin liegen. Bei 1) spielt es zum Beispiel keine Rolle, welche Bezeichnung der Parameter hat.

Bei c): Durch welche Richtungsvektoren kann denn die Ebene aufgespannt werden und kennst du einen Punkt, der in der Ebene liegt? Eine Skizze hilft. Aufgaben a) und b) helfen dann, um die Geradengleichungen zu finden.

Comments

Also bei b) habe ich bei allen eigentlich damit argumentiert, dass der Ortsvektor in der Ebene liegt bzw. gleich ist. Die Vektoren sind ebenfalls gleich, da spielt es keine Rolle welche länge sie besitzen (wird ja durch den Parameter beeinflusst.

Bei c) hätte ich jetzt gesagt nehme ich als Ortvektor (0|0|5) oder (1|1|5). Also 5 oberhalb der x1x2 Ebene. Jetzt steht, dass sie Parallel zu ihr verlaufen soll, also muss x3=0 sein. Ein Vektor wäre z.B (2|4|0),(3|4|0) und (5|7|0)

Mit diesen Vektoren dann eine Gerade bilden...

Richtög? :|

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Wenn $x_3=0$ sein soll, kann $(0|0|5)$ ja kein Ortvektor sein.

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Ups, Dann eben (1|2|0)? Aber Rest passt oder?

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Hast du mal eine Skizze gemacht?

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Mein Fehler, muss Spurpunkte widerholen. Ich habe jetzt eine Skizze gemacht.

Es sagt ja, dass es 5 Kästchen oberhalb der x1x2 Ebene sein soll.... aber eben parallel zu dieser Ebene. Sprich x3=5 und es darf nicht die x1x2 Ebene berühren. Ortsvektor würde ich sage ist dass z.B A(1|2|5) ist. Als Vektor dann (3/5/0) und (3/4/0).

(1|2|5) + r* (3/5/0) + s*(3/4/0)

2 Geraden wäre dann

(1|2|5) + r* (3/5/0)

(1|2|5) +s*(3/4/0)

Aber wie soll ich eine dritte machen? Ich habe eine Idee aber keine Ahnung ob die Sinn macht

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Schon besser. Warum wählst du so "komplizierte" Vektoren? Für die dritte Gleichung betrachte mal Aufgabe b.

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Was heißt schon besser? Richtig bis jetzt? Ich habe einfach Vektoren genommen, die plausibel erschieden. (0|0|5) hätte es als Ortsvektor auch getan. Und dann Vektoren (1|2|0) und (1|3|0). Was wäre deiner Meinung nach einfacher?

1 Gerade:

(1|2|5) + r* (3/5/0)

2. Gerade:

(1|2|5) +s*(3/4/0)

3. Gerade

(1|2|5) +s*(3/4/0) + (3/5/0)

*Ich weiß das das jetzt die Geraden zur vorherigen Ebene sind

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Nimm doch die Koordinatenachsen als Spannvektoren.

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Umm meinst du dann z.B (1|0|0) und (0|1|0)?

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Genau. Mach es dir bei solchen Aufgaben immer so einfach wie möglich. :) Deine Lösung ist natürlich nicht falsch.

Answer 2

a,b sind doch ok.

zu c) Nimm einen Vektor, der um 5 aus der waagerechte herausragt, am einfachsten (0,0,5)^t, und als Richtungsvektoren zwei Vektoren aus der Ebene, am einfachsten (1,0,0)^t und (0,1,9)^t.

Comments

Da steht, dass es Parallel zur X1X2 Ebene verlaufen soll.... müsste bei den Vektoren dann x3 nicht 0 sein?

Bei c) hätte ich jetzt gesagt nehme ich als Ortvektor (0|0|5) oder (1|1|5). Also 5 oberhalb der x1x2 Ebene. Jetzt steht, dass sie Parallel zu ihr verlaufen soll, also muss x3=0 sein. Ein Vektor wäre z.B (2|4|0),(3|4|0) und (5|7|0)

Mit diesen Vektoren dann eine Gerade bilden...

Richtög? :|

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Tippfehler: 9 steht neben 0; Entschuldigung!

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Kein problem. Aber ist meine Antwort nun richtig?

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Vielleicht haben wir verschiedene Vorstellungen, wo die Koordinatenrichtungen hinzeigen. Ich habe x₁-x₂ als waagerecht angenommen, aber Geometrie-Programme sehen das manchmal anders: xy senkrecht (wie auf dem Papier), z nach vorn (vpython) oder hinten (povray).

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Mein Fehler, hattest doch recht