Aufgabe: Sei n > 1. A sei eine nXn Matrix. Bei der Matrix A sollen (n+1)-Einträge den Wert 1 & die übrigen (n^2-n-1)-Einträge den Wert 0 haben.
Ich sollte zeigen, das die Determinante det(A) = |A| nur aus der Menge {-1,0,1} sein kann.
Mein Ansatz:
Text erkannt:
Beweis. (Vollständige Indulchion dür \( n \geqslant 2 \)
1)(IA) mit \( n=2 \). Damit hat \( A \) insgesamt vier Einträge, wovon \( 2+1=3 \) den wert \( 1 \times 2^{2}-2-1=4-2-1=1 \) den wert 0 haben sollen. D.h. A kann die Formen
\( \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \) annehmen, sodass dann gilt:
\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)=1 \cdot 0-1 \cdot 1=-1, \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=1 \cdot 1-1 \cdot 0=1 \),
\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)=0 \cdot 1-1 \cdot 1=-1 \& \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)=1 \cdot 1-1 \cdot 0=1 \)
\( \Rightarrow \operatorname{det}(A) \in\{-1,1\} \).
Text erkannt:
2)(I.S) Gelte die Aussage für ein \( n>1 \) k allen \( n \times n \)-Mahrzen so sei \( A^{+} \in \mathbb{K}^{(n+1)(n+1)} \& \) es folgt:
Sei \( n+1>1 \), so hat \( A^{+},(n+1)^{2}=n^{2}+2 n+1 \)-Einträge, wovon \( n+1+1 \)
Nach Annahme folgt Jür die \( n \times n \)-Mahrix A mit \( n^{2} \) Einbrägen, wovon \( n+1 \) - Einhräge \( 1 k_{4} n^{2}-n-1 \) - Einträge 0 sind, schon \( \operatorname{det}(A) \in\{-1,0,1\} \)
D.h. nach (eibniz, ist \( \operatorname{det}(A)=\sum \limits_{\delta \in S_{n}} \underbrace{\operatorname{sgn}(\delta)}_{\in\{-1,1\}} \underbrace{a_{1 \delta(1)} \cdots a_{n \delta(n)}}_{\in\{0,1\}} \in\{-1,0,1\} \) mit \( a_{i \delta(i)} \in\{1,0\} \quad \forall i=1, \ldots, n \& \forall \delta \in S_{n} \). Damit ist bei \( A^{+} \)auch \( a_{j \delta(j)} \in\{1,0\} \quad \forall j \geqslant i \& \forall \delta \in S_{n+1} \). Wodurch \( \downarrow \) \( \operatorname{det}\left(A^{\dagger}\right)=\sum \limits_{\delta \in S_{n}} \underbrace{\operatorname{sgn}(\delta)}_{\in\{-1,1\}} \underbrace{a_{1 \delta(1)} \cdots a_{n \delta(n)} \cdot a_{n+1, \delta(\delta n+1)}}_{\in\{1,0\}} \in\{-1,1,0\} \) ist.
Jetzt ist die Frage, ob das so richtig wäre?
