Kurvenintegral Funktion aufteilen

Question

ich habe die Funktion f(x,y,z) = (-ysin(xy)sin(z), -xsin(xy)sin(z)+z, cos(xy)cos(z)) und die Parameterdarstellung γ(t) = (sinh(cos(t)), \( t^{2} \) , \( \frac{π}{2} \)*sin(t)) mit t ∈ [0, \( \frac{π}{2} \) ].

Ich möchte gerne \( \int\limits_{C}^{} \) f * d(x,y,z) händisch berechnen.

Als Tipp bei dieser Aufgabe wurde mir geraten, f aufzuteilen in g(x,y,z) + (0,z,0). Für g sollte ich das Kurvenintegral mit der Stammfunktion berechnen und für (0,z,0) elementar.

Ich hätte nun g(x,y,z) = (-ysin(xy)sin(z), -xsin(xy)sin(z), cos(xy)cos(z))

Die Stammfunktion davon wäre φ(x,y,z) = sin(z)cos(xy)

Nun weiß ich allerdings nicht, wie ich das Kurvenintegral von g berechnen kann. Laut Formel wäre dies einfach

φ(Endpunkt) - φ(Startpunkt). Ich habe jedoch keinen Endpunkt und keinen Startpunkt, da ich ja keine Parameterdarstellung für g habe oder kann ich diese einfach von f übernehmen? Wie ermittle ich diese? Verläuft hier dann t auch von 0 bis \( \frac{π}{2} \) ?

Für (0,z,0) habe ich genau dieselben Probleme wie bei g.

Answer 1

Verwechsle die Kurve nicht mit der zu integrierenden Funktion. Es gilt

\(\int_\gamma f \,d(x,y,z) = \int_\gamma g\,d(x,y,z) + \int_\gamma (0,z,0)\,d(x,y,z)\).

Für das erste Integral verwende die gefundene Stammfunktion. Das zweite rechne nach Def. des Kurvenintegrals zu Fuß aus.

Comments

Das würde dann nun heißen, dass ich für den Startpunt γ(0) und für den Endpunkt γ(\( \frac{π}{2} \) ) für g(x,y,z) und (0,z,0) verwenden kann, richtig?

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Nur da, wo Du eine Stammfunktion hast. Hast Du eine für \((x,y,z)\mapsto (0,z,0)\)? Siehe Antwort oben.

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Also wenn ich richtig verstehe, dann so:

Für g(x,y,z) habe ich die Stammfunktion φ(x,y,z) = sin(z)cos(xy) gefunden.

Hier kann ich für φ(Endpunkt) - φ(Startpunkt) als Endpunkt γ(\( \frac{π}{2} \)) und als Startpunkt γ(0) verwenden.

Für (0,z,0) = h(z) setze ich in die Formel für das Kurvenintegral ein:

\( \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}} \) <h(γ(t)), γ'(t)> dt

Habe ich das richtig verstanden?

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Ja, hast Du.

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Vielen Dank für die schnelle und aufschlussreiche Hilfe!