Zuerst einmal sollst du ja nicht zeigen, dass die Summandenfolge \(x_n=\frac{1}{n}\) konvergiert oder divergiert, sondern du sollst die Konvergenz der Partialsummenfolge \(a_n=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\) überprüfen. Dass die \(x_n\) gegen \(0\) konvergieren, ist für Konvergenz deiner Reihe notwendig, aber nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe super verdeutlicht.
Der Trick ist es zu sehen, dass für \(n<m\) der Ausdruck \(|a_n-a_m|\) eine Summe ist, nämlich \(|a_n-a_m|=\sum\limits_{k=n+1}^{m}x_k\), und dass du diese Summe nach unten abschätzen kannst durch "Anzahl Summanden * Letzter Summand", da deine Summanden immer kleiner werden, sprich: \(|a_n-a_m|\geq (m-n)\cdot\frac{1}{m}\). Was fällt dir auf, wenn \(m\) im Vergleich zu \(n\) sehr groß ist? Dann ist \(m-n\) "in der Größenordnung" \(m\), und damit deine untere Schranke "in der Größenordnung" \(1\). Das ist mit Konvergenz der Reihe nicht vereinbar, die Abstände müssten ja beliebig klein werden können.
Das versuchen wir jetzt präzise zu machen. Ich zeige jetzt einfach, dass \(\varepsilon=\frac{1}{3}\) nicht funktionieren kann, indem ich beliebig große \(n<m\) finde, sodass \(|a_n-a_m|\geq \frac{1}{2}\), aber andere Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) funktionieren auch. Hier geht nur die Rechnung so schön einfach auf.
Wir nehmen jetzt also mal an, die harmonische Reihe würde konvergieren. Wir wenden das Cauchy-kriterium an mit \(\varepsilon=\frac{1}{3}\) und bekommen ein \(N\), sodass für alle \(N\leq n<m\) gilt: \(|a_n-a_m|<\frac{1}{3}\). Wir wählen jetzt einfach \(n=N\) und \(m=2N\) und schätzen ab:
$$|a_n-a_m|=\sum\limits_{k=n+1}^{m}x_k\geq (m-n)\cdot\frac{1}{m}=(2N-N)\cdot\frac{1}{2N}=\frac{1}{2}>\frac{1}{3}=\varepsilon.$$
Diese Abschätzung steht in direktem Widerspruch zum Cauchykriterium, die harmonische Reihe kann also keine konvergente Reihe sein.
Ein bisschen zur Intuition: Die Summanden der harmonischen Reihe gehen "gerade so nicht schnell genug" gegen \(0\), als dass die Reihe konvergiert. Präziser: Für \(a\geq 0\) könntest du die Reihen \(\zeta(a)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^a}\) betrachten. Für \(a=1\) hast du die harmonische Reihe, für \(a>1\) gehen die Summanden schneller gegen \(0\), für \(0<a<1\) gehen sie langsamer als die harmonische Reihe gegen \(0\) und für \(a=0\) sind die Summanden konstant \(1\). Es stellt sich heraus, dass Konvergenz gegeben ist genau für \(a>1\). Siehe "Riemannsche Zeta-Funktion" für einen riesigen Ausflug ins Land der komplexen Analysis.
