Divergenz der harmonischen Reihe anhand des Cauchy-Kriteriums

Question

Hallo miteinander, ich struggele noch ein bisschen damit das Cauchy-Kriterium und die daraus resultierende notwendige Konvergenz am Beispiel der harmonischen Reihen zu verstehen:

Für ε  > 0, existiert ein N sodass |xn - xm| <  ε für alle n,m ≥ N

Meinem Verständnis nach bedeutet dass, dass der Abstand zwischen fast allen Elementen einer Reihe ab gewissem N beliebig klein wird, da mit Approximation des Limits bei Konvergenz dieser ja eben beliebig klein wird.

Eine Aufgabe der letzten Wochen war nun:

Nutze das Cauchy Kriterium um zu zeigen, dass die harmonische Reihe$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{1/k}$ nicht konvergiert."

Meiner Intuition nach, müsste diese Reihe irgendwann konvergieren da für k gegen unendlich die hinzukommenden Summanden immer kleiner werden. Sei zB. xn = 1/10000000  und xm 1/1000001 so scheint xn-xm für hinreichend große k kleiner als Epsilon zu werden.
Angeblich nicht, ferner wird wenngleich die Summanden immer größer werden die Summe ja eben doch größer, sodass die Reihe divergiert.

Kann mir jemand anhand dieses Beispiels nochmal einleuchtend erklären wie das mit dem Cauchy-Kriterium genau funktioniert und wie man formal, anhand dessen, zeigen kann dass 1/k divergiert?

Besten Dank

elyminas

Problem/Ansatz:

Comments

Tipp1: Dein $x_n$ ist hier nicht $\displaystyle\frac1n$, sondern $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1k$. Analog für $x_m$.
Tipp2: Für alle $N\ge1$ ist $\displaystyle\sum_{k=N+1}^{2N}\frac1k\ge\frac12$.

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Das ist exakt was ich unten geschrieben habe :O

Zwei dumme ein Gedanke :P

Answer 1

Zuerst einmal sollst du ja nicht zeigen, dass die Summandenfolge $x_n=\frac{1}{n}$ konvergiert oder divergiert, sondern du sollst die Konvergenz der Partialsummenfolge $a_n=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k$ überprüfen. Dass die $x_n$ gegen $0$ konvergieren, ist für Konvergenz deiner Reihe notwendig, aber nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe super verdeutlicht.

Der Trick ist es zu sehen, dass für $n<m$ der Ausdruck $|a_n-a_m|$ eine Summe ist, nämlich $|a_n-a_m|=\sum\limits_{k=n+1}^{m}x_k$, und dass du diese Summe nach unten abschätzen kannst durch "Anzahl Summanden * Letzter Summand", da deine Summanden immer kleiner werden, sprich: $|a_n-a_m|\geq (m-n)\cdot\frac{1}{m}$. Was fällt dir auf, wenn $m$ im Vergleich zu $n$ sehr groß ist? Dann ist $m-n$ "in der Größenordnung" $m$, und damit deine untere Schranke "in der Größenordnung" $1$. Das ist mit Konvergenz der Reihe nicht vereinbar, die Abstände müssten ja beliebig klein werden können.

Das versuchen wir jetzt präzise zu machen. Ich zeige jetzt einfach, dass $\varepsilon=\frac{1}{3}$ nicht funktionieren kann, indem ich beliebig große $n<m$ finde, sodass $|a_n-a_m|\geq \frac{1}{2}$, aber andere Zahlen zwischen $0$ und $1$ funktionieren auch. Hier geht nur die Rechnung so schön einfach auf.

Wir nehmen jetzt also mal an, die harmonische Reihe würde konvergieren. Wir wenden das Cauchy-kriterium an mit $\varepsilon=\frac{1}{3}$ und bekommen ein $N$, sodass für alle $N\leq n<m$ gilt: $|a_n-a_m|<\frac{1}{3}$. Wir wählen jetzt einfach $n=N$ und $m=2N$ und schätzen ab:

$$|a_n-a_m|=\sum\limits_{k=n+1}^{m}x_k\geq (m-n)\cdot\frac{1}{m}=(2N-N)\cdot\frac{1}{2N}=\frac{1}{2}>\frac{1}{3}=\varepsilon.$$

Diese Abschätzung steht in direktem Widerspruch zum Cauchykriterium, die harmonische Reihe kann also keine konvergente Reihe sein.

Ein bisschen zur Intuition: Die Summanden der harmonischen Reihe gehen "gerade so nicht schnell genug" gegen $0$, als dass die Reihe konvergiert. Präziser: Für $a\geq 0$ könntest du die Reihen $\zeta(a)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^a}$ betrachten. Für $a=1$ hast du die harmonische Reihe, für $a>1$ gehen die Summanden schneller gegen $0$, für $0<a<1$ gehen sie langsamer als die harmonische Reihe gegen $0$ und für $a=0$ sind die Summanden konstant $1$. Es stellt sich heraus, dass Konvergenz gegeben ist genau für $a>1$. Siehe "Riemannsche Zeta-Funktion" für einen riesigen Ausflug ins Land der komplexen Analysis.

Comments

Man soll nicht zeigen, dass die Folge der Partialsummen $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^nx_k$ konvergiert, sondern divergiert.

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Danke für den Hinweis!

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besten Dank für die ausführliche Erklärung, das hat es sehr verdeutlicht :)

Answer 2

nimm  n<m sonst beliebig dann hast du 1/n-1/m<ε also (m-n)/(n*m)<ε,    ε kann man beliebig klein wählen also etwa 1/10*(m-n)/(n*m) dann hast du den gesuchten Widerspruch.

Gruß lul

Comments

Warum ist damit die Divergenz der harmonische Reihe gezeigt?

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Weil man einen Wdsp zur Cauchyschen Konvergenzkriterium hat.?

Aber meist weisst du es besser?

lul

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Wie sieht denn der Widerspruch konkret aus?
Dein Ansatz hat eher den Anschein, dass du nachweisen wolltest, dass $a_n=\tfrac1n$ keine Cauchy-Folge ist. Das wird dir allerdings nicht gelingen.

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Danke, ich gib bedröppelt dir mal wieder Recht.

lul