Gesamtkostenbestimmung K(x) = 0,125x^3-x^2+3,5x+20 eines Betriebs

Question

Die Funktion K mit K(x) = 0,125x³-x²+3,5x+20 beschreibt die Gesamtkosten (in GE) eines Betriebes in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x (in ME).
Zu welchem konstanten Preis p pro ME wird das Produkt verkauft, wenn die Nutzenschwelle bei 2 ME liegt (d.h. ab 2 ME kostendeckend produziert wird)? Und wo liegt dann die Nutzengrenze (d.h. bis zu welcher Menge wird Gewinn gemacht)? Wie groß ist der maximale Gewinn?

Comments

Nutzenschwelle:

p*2= K(2)


Nutzengrenze ist der obere Beschäftigungswert, bei dem sich Umsatz- und Gesamtkostenkurve schneiden; hier verläßt der Betrieb die Gewinnzone.

Also:

p*x=K(x)

p kennst du ja inzwischen.


Maximalgewinn: Bilde G '(x) und setze:

G ' (x)= 0

Answer 1

Die Funktion K mit K(x) = 0.125·x^3 - x^2 + 3.5·x + 20 beschreibt die Gesamtkosten (in GE) eines Betriebes in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x (in ME). 

Zu welchem konstanten Preis p pro ME wird das Produkt verkauft, wenn die Nutzenschwelle bei 2 ME liegt (d.h. ab 2 ME kostendeckend produziert wird)?

p = K(2) / 2 = 12

Und wo liegt dann die Nutzengrenze (d.h. bis zu welcher Menge wird Gewinn gemacht)? Wie groß ist der maximale Gewinn?

G(x) = 12·x - (0.125·x^3 - x^2 + 3.5·x + 20) = - 0.125·x^3 + x^2 + 8.5·x - 20 = 0

x = 12.43398113

G'(x) = - 0.375·x^2 + 2·x + 8.5 = 0

x = 8.123568514

G(8.124) = - 0.125·(8.124)^3 + (8.124)^2 + 8.5·(8.124) - 20 = 48.03