Potenreihen Summen berechnen

Question

wie berechne ich die Summen der Potenzreihen a und b:

a:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(3+2*k)*x^{k}} \) mit Konvergenzradius (-1,1)

b:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5*x^{k}}{3^{k}*(k+1)}} \) mit Konvergenzradius (-3,3)

Es gilt nun für die Summenfunktion f'(x) = \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{k*ak*x^{k-1}} \)

und \( \int\limits_{0}^{x} \) f(t) dt= \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{ak}{k+1}*x^{k+1}} \)

(ak ist der Faktor-Term vor x^k der in Potenzreihe)

Man muss schließlich die optimale Variante wählen, sodass man auf eine bekannte Reihe kommt, welche man berechnen kann.

Wie geht man hier vor? Wann muss man den Index shiften? Ich habe hier Beispiele, wo eine Reihe ab k=1 gegeben ist und diese nicht auf k=0 geshiftet wird und somit ak und x^k unverändert bleiben und in den beiden Lösungsvarianten verwendet werden, ohne eine falsches Ergebnis zu bekommen.

Answer 1

Ob die Reihe bei 0, 1, oder 7 oder sonstwas anfängt, ist irrelevant, weil sie sich nur um einen einfachen Term von der Reihe ab 0 unterscheidet. Heißt: der einfache Term ist leicht integrierbar und ableitbar.

Deine beiden Muster greifen für \(x^{k-1}\) und \(x^{k+1}\), Du hast in der Reihe \(x^k\) gegeben. Das kannst Du aber leicht auf eines der beiden Muster bringen, durch Ausklammern von \(x\) oder \(\frac1x\).

Also, probier mal was aus.

Comments

Das habe ich vergessen. Die Summenfunktionen sind für mich so angegeben, wenn die Potenzreihe \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{ak*x^{k}} \) gegeben war.

Also soll ich bei a nun auf 0 shiften oder nicht?

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Es geht wie oben erklärt. Probier das aus, oder probiere shiften. Es gibt viele Wege. Fang an.

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Also ich habe jetzt bei a:

Indexshift auf k=0:

x * \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(5+2k)*x^{k}} \)

hier verwirrt mich nun schon das x * am Beginn

Summenfunktion mit Ableitmethode:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{k*(5+2k)*x^{k-1}} \) = \( \frac{1}{x} \) * \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(5k+2k^{2})*x^{k}} \)

Ich kenne leider keine Reihe dazu. Dasselbe bei der Integriermethode.

Ich habe leider keinen Plan, wie man hier vorgeht

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Du hast meine Anleitung nicht verstanden. Ich habe bereits gesagt, dass der Beginn bei 0 nicht relevant ist und man, um einen beiden Tipps anzuwenden, \(x^{k+1}\) oder \(x^{k-1}\) braucht. Und der erste Tipp ist ja für Reihen, die bei 1 anfangen. Du hast es also komplizierter gemacht.

Wieso verwirrt Dich das \(x\)? Das ist nur ein konstanter Faktor.

\(\sum\limits_{k=1}^\infty (3+2k)x^k=x\sum\limits_{k=1}^\infty (3+2k)x^{k-1}\). Teile die Reihe in zwei Reihen auf. Die erste Reihe solltest Du ohne Tricks berechnen können. Für die zweite passt der erste Tipp haargenau.

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also

1,

x * (\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3*x^{k})} \) ) = x *(1 + \( \frac{3}{1-x} \) )und

2,

f'(x) = (\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(2k*x^{k-1})} \) )

\( \int\limits_{}^{} \) f'(x) = \( \int\limits_{}^{} \) x*  (\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(2k*x^{k-1})} \) )

Bei der ersten Reihe habe ich den Index geshiftet, um auf die Formel der geometrischen Reihe zu kommen.

Stimmt das so? Was sind die Grenzen des Intervalls?

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1. stimmt nicht, prüfe genau die Gleichheit und die Formel für die geometrische Reihe. In der Aufgabe brauchen wir auch die ab 1 beginnende Reihe.

2. Warum willst Du beide Tipps gleichzeitig anwenden?

Wir haben laut Tipp, wenn \(f'(x)=\sum ka_kx^{k-1}\) ist, dass \(f(x)=\sum a_kx^k\) ist. Bestimme damit \(f(x)\). Auf den Beginn der Reihe achte selbst. Mach keine(!!!) shifts.

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Bei 1 sollte stehen

x * (\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3*x^{k})} \) ) = x *(-1 + \( \frac{3}{1-x} \) )

Bei 2:

Wir haben x *  (\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(2k*x^{k-1})} \) ) . Dies ist der zweite Teil der Trennung von deinem Kommentar oben.

Wir wollen nun wissen, was die Potenzreihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(2k*x^{k-1})} \) ergibt. Wenn wir davon die Summe wissen wollen, müssten wir doch hier wieder einen dieser Tipps hier anwenden, da dies ja noch keine Ableitung von einer anderen Funktion hier ist.

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Zu 1.: stimmt immer noch nicht. Du musst schon auf jedes Detail achten.

Zu 2.: Ich hab Dir doch oben gesagt, wie Du für den 2. Teil auf f(x) kommst. Du musst doch nur noch abschreiben und einsetzen. Wir haben ein f'(x) als Reihe gegeben und suchen das f(x).

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1:

x * (\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3*x^{k})} \) ) = 3x * (\( \frac{1}{1-x} \) -\( \frac{1}{x} \) )

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Die geometrische Reihe lautet: \(\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x}\). Die erste der beiden Reihen lautet also: \(\sum\limits_{k=1}^\infty 3x^k=?\)

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\(\sum\limits_{k=1}^\infty 3x^k=\) 3 *  \(\sum\limits_{k=1}^\infty x^k\) = 3 * \(\sum\limits_{k=0}^\infty x^{k+1}=\) = 3x * \(\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=?\) = 3x * \( \frac{1}{1-x} \)

jetzt gehört noch das 0te Glied abgezogen

also haben wir 3x * ( \( \frac{1}{1-x} \) -3)

?

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Ich übersehe einfach meinen Fehler und finde ihn nicht.

Für 2 habe verstehe ich leider auch nicht deine Anleitung.

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Zu 1.: links steht die Reihe, die wir suchen. Rechts am Ende der ersten Zeile das Ergebnis (lass das ? weg). Du bist ungeübt (nicht schlimm), aber warum Du dann dauernd shiften willst, verstehe ich nicht.

Und warum willst Du den 0.ten Summanden abziehen?

Zu 2.: Wir haben eine Reihe der Form f'(x)=... (siehe Tipp in der Aufgabenstellung). Wenn das gegeben ist, dann ist f(x)=... (siehe Aufgabenstellung (Dein nachgereichter Teil). Identifiziere das a_k, damit der Tipp passt.

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zu 1:

ich habe auf k=0 geshiftet, damit wir \(\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x}\) haben.

Ich wollte das 0te Glied abziehen, da die gesuchte Reihe ja erst ab k=1 startet, so wie hier bei Beispiel 3 https://www.massmatics.de/merkzettel/#!27:Die_Geometrische_Reihe

Warum muss das Glied nun doch nicht abgezogen werden?

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Das shiften war ja ok (aber es geht eben auch ohne).

Nach Aufteilen der Reihe (siehe ganz oben) lautet der erste Summand

\(\sum\limits_{k=1}^\infty 3x^k\). Was erhältst Du dafür als Endergebnis? Gehe Deine obige Rechnung, falls nötig, nochmal durch.

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\(\sum\limits_{k=1}^\infty 3x^k\) = 3x + 3x² + 3x³ + ...

in der Tat ist

 3x * \(\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\) = 3x + 3x² + 3x³ + ...

und somit gleich.

Ich verstehe es trotzdem nicht, warum manchmal Glieder abgezogen werden, wie im Beispiel oben. Ich habe auch andere Beispiele, wo dies gemacht wird.

Hättest du da bitte eventuell auch noch eine Erklärung?

zu 2:

Könntest du bitte das Ergebnis teilen? Ich blicke da einfach nicht durch.

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Man zieht dann den 0.ten Summanden ab, wenn man ihn nicht braucht.

Ich hatte Dich gebeten, das Ergebnis für \(\sum\limits_{k=1}^\infty 3x^k\) zu notieren. Das hast Du bereits ausgerechnet, weiter oben, auch das hatte ich schon gesagt. Wo ist jetzt das Problem? Also: \(\sum\limits_{k=1}^\infty 3x^k=?\)

Zu 2. kommen wir danach.

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\(\sum\limits_{k=1}^\infty 3x^k=\)   3x * \( \frac{1}{1-x} \)

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Aha, geht doch.

Zu 2.: Der 2. Summand lautet: \(x\sum\limits_{k=1}^\infty 2kx^{k-1}\).

Wir wissen, aus dem Tipp oben: Wenn \(f'(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}\), dann ist \(f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k\). Vergleiche die Reihe für \(f'(x)\) mit unserer Reihe (ignorier erstmal den Faktor \(x\)), identifiziere das \(a_k\) und berechne damit \(f(x)\). Dann leite ab (wir suchen ja \(f'(x))\)). Halte Dich genau an diese Schritte.

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\(\sum\limits_{k=1}^\infty 2kx^{k-1}\) verglichen mit

\(\sum\limits_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}\)

das a_k ist also 2

\(f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty 2*x^k\) = 2 * \( \frac{1}{1-x} \)

\( \frac{d}{dx} (f(x))\) = \( \frac{1}{(1-x)^{2}} \)

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Super, Du bist anscheinend warm gelaufen!

Naja, fast: In f'(x) am Ende fehlt der Faktor 2.

So, jetzt nur noch ernten: Faktor \(x\) einbringen und die beiden Teilergebnisse addieren, fertig. Endergebnis?

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Korrektur:

dxd(f(x)) = \( \frac{2}{(1-x)^{2}} \)

x * \( \frac{2}{(1-x)^{2}} \) + 3x * \( \frac{1}{1-x} \)

so richtig?

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Ja, ist richtig. Könnte man noch auf einen Bruch zusammenfassen.

Wollen wir b) auch noch machen? Vielleicht siehst Du schon, dass dort der Integral-Tipp zur Anwendung kommen wird.

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Wenn das für dich in Ordnung ist, dann würde ich b auch noch gemeinsam machen.

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Mein Ansatz wäre:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5}{(k+1)*3^{k}}*x^{k}} \)

=

\( \frac{1}{x} \) * \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5}{(k+1)*3^{k}}*x^{k+1}} \)

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Gerne, wo Du jetzt einmal eingearbeitet bist.

Ich seh schon, läuft, freut mich. Weißt Du weiter?

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also a_k müsste dann nach meinem Ansatz \( \frac{5}{3^{k}} \) sein oder?

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Ja, genau so ist es.

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Wenn gilt:

\( \int\limits_{0}^{x} \) f(t) dt= \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{ak}{k+1}*x^{k+1}} \)

dann ist ja f(x) das ganze differenziert

\(f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k\) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5}{3^{k}*(k+1)}*x^{k+1}} \)

Diese Summe müsste man wieder lösen und danach integrieren oder?

Für diese Reihe weiß ich wieder nicht, wie ich sie auflösen könnte.

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Jetzt bist Du doch vom Weg abgekommen.

\(f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k=\) ja, und dann \(a_k\) einsetzen (sonst nichts, nur stupide einsetzen) und dann \(f(x)\) ausrechnen. Dann zum Integral. Genau wie vorher, nur jetzt Integral statt Ableitung. Vorher haben wir auch \(f(x)\) ausgerechnet (also hier müssen wir das auch machen) und dann eben integrieren (vorher ableiten). Und am Ende den Faktor \(\frac1x\) noch davor.

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ups da ist mir das k+1 in das ak reingerutscht

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5}{3^{k}}*x^{k}} \)

Für ist mir auch keine Reihe bekannt

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also man könnte das evtl so machen:

5 * \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(\frac{x}{3})^{k}} \) =

5 * \( \frac{1}{1-\frac{x}{3}} \) oder ?

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Genau. Beseitige noch den unschönen Bruch im Nenner durch Erweitern.

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Genau dann erhalten wir -\( \frac{15}{x-3} \)

das müssen wir jetzt integrieren

also \( \int\limits_{}^{} \) -\( \frac{15}{x-3} \) = -15 log (x-3) 

Das Endergebnis ist dann

-15 log (x-3) * \( \frac{1}{x} \)

?

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Oh ich denke das Integral sollte ausgewertet werden zwischen 0 und x, wobei dieses x eine Grenze des Konvergenzintervalls ist und danach wird erst mit \( \frac{1}{x} \) multipliziert

Korrektur: Das ist möglich für x=3. Wie muss es gemacht werden?

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Immer schön sorgfältig bleiben. Dein \(f(x)\) hast Du jetzt.

Nun einsetzen in \( \int\limits_0^x f(t) dt\), achte genau auf \(t\) und \(x\), und ausrechnen.

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\( \int\limits_0^x f(t) dt\) = \( \int\limits_0^3 \) - \( \frac{15}{t-3} \) dt

Dieses Integral ist nicht möglich.

Die normale Stammfunktion lautet -15ln(x-3). Setzt man nun 3 ein, so hat man ein Problem.

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Da steht \(x\), und das muss auch so bleiben. Es muss ja am Ende eine Funktion von \(x\) rauskommen.

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Wenn ich für die Grenzen 0 und x einsetze passiert genau dasselbe. Die Stammfunktion bleibt ja gleich

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Nichts passiert. Ich sagte ja, achte genau(!) auf t und x, weiche nicht ab, und bleibe sorgfältig. Rechne das Integral aus. Ergebnis?

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also

\( \int\limits_0^x f(t) dt\) = \( \int\limits_0^x \) -\( \frac{15}{t-3} \) dt = 

-15ln(x-3) + 15ln(-3)

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Bei der Stammfunktion hier den Betrag verwenden, also \(\int\frac1u\, du=\ln |u|\). Wir wissen ja, \(|x|<3\) (gaaaanz oben, Aufgabenstellung), dann ist \(3-x>0\).

Sonst richtig. Faktor \(\frac1x\) davor, fertig.

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also wäre das Ergebnis

-15ln|x-3| + 15ln|-3|

und das muss man noch mit \( \frac{1}{x} \) multiplizieren?

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Ja, weil wir ja diesen Faktor vorher rausgezogen haben um auf die Form im 2. Tipp zu kommen. Dann passt es.

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Also ist diese Aufgabe nun gelöst?

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Ja (wenn Du den Faktor richtig davor geschrieben hast).

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Genau also

(-15ln|x-3| + 15ln|-3|) * \( \frac{1}{x} \)

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Ja. Tipp noch: 15 ausklammern, \(\ln |-3|\) durch \(\ln 3\) ersetzen und in LaTeX \cdot für den Mal-Punkt verwenden. ;-)

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Gut, werde ich machen.

Vielen lieben Dank für diese lange nicht selbstverständliche Hilfesession.

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Gerne. Freut mich, dass Du das Vorgehen verstanden hast. Hat sich der Aufwand dann gelohnt.