Zeigen Sie, dass die Funktion eine zweimal stetig differenzierbare Lösung der Wellengleichung ist.

Question

Huhu, Ich habe Probleme bei der folgenden Aufgabe.

Meine Idee wäre, erstmal mit der zweiten partiellen Ableitung von F zu starten (nach t) und dann den Laplace-Operator zu berechnen. Als letztes würde ich vermuten, dass ich die Wellengleichung noch überprüfen muss, dabei habe ich allerdings große Schwierigkeiten. Ich wäre euch daher vor allem über Hilfe bei Schritt 3 dankbar, aber auch bei Schritt 2 bin ich mir noch unsicher.

Ganz davon abgesehen, weiß ich auch gar nicht, ob ich mit meiner Idee überhaupt auf dem richtigen Weg bin.

Danke euch im Voraus :)

Answer 1

Verlier das Ziel nicht aus den Augen:

Du hast die Lösung einer Gleichung gegeben und sollst die Probe machen. Darum geht es. Dazu musst Du die Funktion in die Gleichung einsetzen. Und dazu musst Du \(\partial^2_t\) und \(\Delta\) für \(F\) ausrechnen und einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Dazu musst Du nur diese beiden Ergebnisse voneinander subtrahieren (Faktor \(c^2\) natürlich noch berücksichtigen.

Wenn es dabei Probleme gibt, lade Deine Ergebnisse für \(\partial^2_t\) und \(\Delta\) hier hoch, dann kann man das prüfen.

Comments

Also für \(\Delta\) F komme ich auf (1/r)*cos(r-ct).

Für \(\partial^2_t\) von F komme ich auf c^2cos(r-ct).

Dementsprechend müsste ich dann c^2cos(r-ct)-c^2(-cos(r-ct) berechnen, was laut meiner Berechnung bei 0 rauskommt.

Ist das der richtige Weg, oder habe ich mich irgendwo verrannt?

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Was ist denn \(r\)? Wir sind doch im 3d-kartesischen Koordinatensystem?!

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Ach sorry, hab ich vergessen zu erwähnen. Ich habe einfach ||x||2 durch r ersetzt, das war einfacher zu tippen.

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Ok, kann man der Übersicht halber machen, aber wenn man nur nach r ableitet, ist das dann auch nur die äußere Ableitung bei der Kettenregel (falls Du das gemacht hast). Es fehlt dann die innere, die nach x,y,z.

\(\partial^2_t\) ist davon nicht betroffen, da fehlt bei dir nur ein Vorzeichen und der Nenner.

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Wäre das dann \(\partial^2_t\) von F = -c²cos(||x||₂-ct) ?

Was du mit dem Nenner meinst verstehe ich leider nicht wirklich.

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Ich habe jetzt noch einmal überlegt. Der Nenner wäre dann ||x||₂ wenn ich mich nicht vertue.

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Ja, \(\partial^2_t F(x,y,z)=-c^2\frac{\cos (\|(x,y,z)\|_2-c\,t)}{\|(x,y,z)\|_2^2}\)

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Für die anderen partiellen Ableitungen empfehle ich (s.o.) die Kettenregel: \(g(r):=\frac{\cos(r-c\,t)}{r^2}\) mit \(h(x,y,z):=\|(x,y,z)\|_2\), dann ist \(F(x,y,z)=g(h(x,y,z))\). Das \(t\) habe ich rausgelassen, weil es für die anderen partiellen Ableitungen ja eine Konstante ist.

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@nudger: Du hast bei der Ableitung nach t den Nenner quadriert?

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@mathhilf danke für den Hinweis.

Die korrekte Ableitung ist \(\partial^2_t F(x,y,z)=-c^2\frac{\cos (\|(x,y,z)\|_2-c\,t)}{\|(x,y,z)\|_2}\).

Und oben beim Hinweis mit der Kettenregel: \(g(r):=\frac{\cos(r-c\,t)}r\)