Aufgabe:
Gegeben sind zwei Dreiecke D1 und D2. Geben Sie Bedingungen für
die Seitenlängen von D2 in Abhängigkeit von D1 an, sodass
• f(D1) = D2 für eine Kongruenzabbildung f,
• f(D1) = D2 für eine Ähnlichkeitsabbildung f,
• f(D1) = D2 für eine affine Abbildung f.
Problem/Ansatz:
Um die Bedingungen für die Seitenlängen von \( D2 \) in Abhängigkeit von \( D1 \) zu formulieren, sodass bestimmte Abbildungen \( f \) existieren, die \( D1 \) auf \( D2 \) abbilden, betrachten wir die folgenden drei Fälle: Kongruenzabbildung, Ähnlichkeitsabbildung und affine Abbildung.
Kongruenzabbildung
Für zwei Dreiecke \( D1 \) und \( D2 \) gibt es eine Kongruenzabbildung \( f \), wenn \( D1 \) und \( D2 \) kongruent sind. Dies bedeutet, dass \( D1 \) durch eine Kombination von Translation, Rotation und Spiegelung auf \( D2 \) abgebildet werden kann. Die Bedingungen für die Seitenlängen sind:
- Die entsprechenden Seitenlängen von \( D1 \) und \( D2 \) müssen gleich sein.
Seien \( a_1, b_1, c_1 \) die Seitenlängen von \( D1 \) und \( a_2, b_2, c_2 \) die Seitenlängen von \( D2 \). Die Bedingungen lauten dann:
\[ a_1 = a_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
Ähnlichkeitsabbildung
Für zwei Dreiecke \( D1 \) und \( D2 \) gibt es eine Ähnlichkeitsabbildung \( f \), wenn \( D1 \) und \( D2 \) ähnlich sind. Dies bedeutet, dass \( D1 \) durch eine Kombination von Translation, Rotation, Spiegelung und Skalierung auf \( D2 \) abgebildet werden kann. Die Bedingungen für die Seitenlängen sind:
- Die entsprechenden Seitenlängen von \( D1 \) und \( D2 \) müssen proportional sein.
Seien \( a_1, b_1, c_1 \) die Seitenlängen von \( D1 \) und \( a_2, b_2, c_2 \) die Seitenlängen von \( D2 \). Es muss ein positiver Skalierungsfaktor \( k \) existieren, sodass:
\[ a_2 = k \cdot a_1 \]
\[ b_2 = k \cdot b_1 \]
\[ c_2 = k \cdot c_1 \]
Affine Abbildung
Für zwei Dreiecke \( D1 \) und \( D2 \) gibt es eine affine Abbildung \( f \), wenn \( D1 \) durch eine affine Transformation auf \( D2 \) abgebildet werden kann. Eine affine Transformation kann Translation, Rotation, Skalierung und Scherung beinhalten. Die Bedingungen für die Seitenlängen sind:
- Die Seitenlängen von \( D2 \) müssen linear abhängige Kombinationen der Seitenlängen von \( D1 \) sein.
Seien \( a_1, b_1, c_1 \) die Seitenlängen von \( D1 \) und \( a_2, b_2, c_2 \) die Seitenlängen von \( D2 \). Dann existieren Konstanten \( k_1, k_2, k_3 \) (die nicht alle gleich sein müssen), sodass:
\[ a_2 = k_1 \cdot a_1 \]
\[ b_2 = k_2 \cdot b_1 \]
\[ c_2 = k_3 \cdot c_1 \]
