Bestimmen Sie Φ◦Ψ und Ψ◦Φ

Question

Hey, ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Seien K ein Körper, V und W K-Vektorraume und (v1,..., vn) eine Basis von V.

SeiΦ: V^* ⊗W → HomK(V,W) die Abbildung, die durch ϕ ⊗w → (v→ ϕ(v)·w) charakterisiert ist,

und Ψ: HomK(V,W) → V^* ⊗W diejenige Abbildung, die durch
f → ∑ (von i= 1 bis n) v^*i ⊗ f(vi) gegeben ist (Sie können benutzen, dass Φ und Ψ wohldefinierte lineare
Abbildungen sind).
Bestimmen Sie Φ◦Ψ und Ψ◦Φ.

Habt ihr einen Ansatz/ eine Lösung, die ihr mit mir teilen könnt? Danke!

Comments

Setz in die beiden Funktionen doch mal einfache Elemente ein. Was kommt raus? Hast du eine Vermutung?

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@joners

Ich fange mal mit der Bestimmung von Φ∘Ψ an.

Die Abbildung Ψ nimmt ein Element aus dem Raum HomK(V,W) und bildet es auf ein Element im Raum V* ⊗ W ab.
Die Abbildung Φ nimmt ein Element aus dem Raum V^* ⊗ W und bildet es auf ein Element im Raum HomK(V,W) ab.
Daher ist Φ◦Ψ eine Abbildung von HomK(V,W) nach HomK(V,W).

Um Φ◦Ψ zu berechnen, setzen wir ein Element f aus HomK(V,W) in Ψ ein und verwenden dann das Ergebnis als Eingabe für Φ:
Φ◦Ψ(f)=Φ(Ψ(f)).

Meinst du so?

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Kennst du einfache Elemente von $\mathrm{Hom}_k(V,W)$? Zum Beispiel ein $f_{(j,w)}:V\to W$, das ein $v_j$ auf z.B. ein fest gewähltes $w$ schickt und jeden anderen Basisvektor auf $0$.

Wenden wir mal $\Psi$ an:

$$\Psi:f_{(j,w)}\mapsto \sum\limits_{i=1}^n v_i^\ast\otimes f_{(j,w)}(v_i)=v_1^\ast\otimes 0 + \ldots + v_j^\ast\otimes w+\ldots+v_n^\ast\otimes 0=v_j^\ast\otimes w.$$

Du siehst also, dass diese Abbildung also irgendwie speichert "vj kam auf w, alles andere hat nichts getan". In deinem Kopf sollte es anfangen etwas zu rattern: Genau so, wie du eine lineare Abbildung schreiben kannst durch "dieser Basisvektor wird hierhin geschickt, der nächste hierhin, etc.." (also deine Funktion ist eine "Summe" von bilinearen Informationen, bilinear deshalb weil die Informationen, was $\lambda f(v)$ ist, das gleiche ist wie die Information, was $f(\lambda v)$ ist), kannst du ein Element eines Tensorprodukts als Summe von Elementartensoren schreiben.

Das schicken wir also mal durch $\Phi$.

$$\Phi:v_j^\ast\otimes w\mapsto (\Phi(v_j^\ast\otimes w):v\mapsto v_j^\ast(v)\cdot w).$$

Wenn du mal ganz genau hinguckst, ist das eine Abbildung, die jeden Basisvektor außer $v_j$ auf $0$ schickt, und $v_j$ auf $1\cdot w$.

Das für eine Elementarfunktion in $\mathrm{Hom}_k(V,W)$, sie wird also auf Elementartensoren geschickt, und zweifaches Ausführen tut garnichts. Da beide Räume Basen bestehend aus diesen Elemetarfunktionen/-tensoren besitzt, könntest du ja jetzt eine Vermutung aufstellen, welche Beziehung die beiden funktionen zueinander haben.

Bonus für Verständnis: Zu guter letzt musst du dir noch überlegen, wieso $V$ endlichdimensional sein muss, damit das ganze funktioniert. Wenn $V$ unendlich-dimensional ist, kannst du eine Funktion von $V$ ausgehend ja nicht als endliche Summe von "Informationen, wo die Basisvektoren hingeschickt werden" schreiben. Du müsstest also irgendeinen Vektorraum haben, wo legale Elemente auch unendliche Summen von Elementartensoren sein könnten. Das Tensorprodukt an sich erlaubt das nicht. So ohne weiteres könntest du also nur Funktionen mit endlichdimensionalem Träger darstellen.