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Funktion und Definitionsbereich
Die Funktion \( f(x, y) \) ist definiert als
\(
f(x, y) = \begin{cases}
c(x-1) y^{2}, & \text{für } 1 \leq x \leq y^{2} \leq 4 \\
0, & \text{sonst}
\end{cases}
\)
Hierbei ist \( c \) eine Konstante.
Grenzenbestimmung für das Integral
Um die Integrationsgrenzen der Funktion korrekt zu bestimmen, müssen wir den Bereich identifizieren, in dem \( f(x, y) \) von null verschieden ist, nämlich \( 1 \leq x \leq y^2 \leq 4 \).
Daraus folgt:
1. \( y^2 \geq 1 \Rightarrow y \geq 1 \text{ oder } y \leq -1 \)
2. \( y^2 \leq 4 \Rightarrow y \leq 2 \text{ und } y \geq -2 \)
3. \( 1 \leq x \leq 4 \)
Betrachten wir die Einschränkungen für \( y \):
- Da \( x \leq y^2 \), erhalten wir \(\sqrt{x} \leq y\) und \(-\sqrt{x} \leq y\).
- Die positiven \( y \)-Werte führen zu \(1 \leq y \leq 2\).
Integration erfolgt in zwei verschiedenen Reihenfolgen:
1. Integration in der Reihenfolge \( dy \, dx \)
Wenn wir zuerst nach \( y \) und dann nach \( x \) integrieren, müssen wir die Grenzen für \( y \) in Abhängigkeit von \( x \) identifizieren.
- Für \( x \) in \([1, 4]\):
- Das Integral wird über \( y \) in dem Bereich \(\sqrt{x} \leq y \leq 2\) durchgeführt.
Die Integralgrenzen sind daher:
\(
\int_{1}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2} f(x, y) \, dy \, dx
\)
2. Integration in der Reihenfolge \( dx \, dy \)
Hier integrieren wir zuerst nach \( x \) und danach nach \( y \).
- Für \( y \) in \([1, 2]\):
- Das Integral wird über \( x \) in dem Bereich \(1 \leq x \leq y^2\) durchgeführt.
Die Integralgrenzen sind daher:
\(
\int_{1}^{2}\int_{1}^{y^2} f(x, y) \, dx \, dy
\)
Beispielrechnung für den doppelten Integral
Für beide Integrationsreihenfolgen soll das gleiche Resultat herauskommen:
\(
\int_{1}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2} c(x-1) y^{2} \, dy \, dx = \int_{1}^{2}\int_{1}^{y^2} c(x-1) y^{2} \, dx \, dy
\)
Wir überprüfen nun die beiden Methoden:
Methode \( dy \, dx \)
\(
\int_{1}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2} c(x-1) y^{2} \, dy \, dx
\)
Die innere Integration:
\(
\int_{\sqrt{x}}^{2} y^{2} \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{\sqrt{x}}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{x^{3/2}}{3}
\)
Die äußere Integration:
\(
\int_{1}^{4} c(x-1) \left( \frac{8}{3} - \frac{x^{3/2}}{3} \right) \, dx
\)
Methode \( dx \, dy \)
\(
\int_{1}^{2}\int_{1}^{y^2} c(x-1) y^{2} \, dx \, dy
\)
Die innere Integration:
\(
\int_{1}^{y^2} (x-1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{y^2} = \left( \frac{(y^2)^2}{2} - y^2 \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1 \right)
\)
Vereinfacht:
\(
\left( \frac{y^4}{2} - y^2 - \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{y^4}{2} - y^2 + \frac{1}{2}
\)
Die äußere Integration:
\(
c \int_{1}^{2} y^2 \left( \frac{y^4}{2} - y^2 + \frac{1}{2} \right) \, dy
\)
Beide Methoden werden basierend auf der korrekt bestimmten Grenzen zu einem gleichwertigen Ergebnis führen. Es ist wichtig, sich während der Rechnung zu vergewissern, dass alle Eingrenzungen und Subtraktionsschritte korrekt durchgeführt werden.
