Ich glaube, man muss zeigen, dass f holomorph und der def.bereich einfach zusammenhängend ist, oder?

Question

Könnt ihr mir hier helfen:

Text erkannt:

Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Funktion
$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, f(z)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sin (z)}{z} & z \neq 0 \\ 1 & z=0 \end{array}\right.$
eine holomorphe Stammfunktion besitzt.

Ich glaube, man muss zeigen, dass f holomorph und der def.bereich einfach zusammenhängend ist, oder? Da das für C der fall ist, würde ich nur noch die cauchy riemann gleichung anwenden. Da komme ich aber nicht weiter:

Text erkannt:

$f(z)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sin (z)}{z} & z \neq 0 \\ 1 & z=0 \end{array}\right.$

Fall $z \neq 0 \quad f(z)=\frac{\sin (z)}{z}=\frac{\sin (x+i y)}{x+i y}$
Es gill: $\sin (x+i y)=\sin (x) \cos (i y)+\cos (x) \sin (i y)$
und $\cos (i y)=\cosh (y)$
$\sin (i y)=i \sinh (y)$

Answer 1

Um die logischen Zusammenhänge in deiner Frage etwas aufzuräumen. Ich hoffe, dass ich nudger nichts vorweg nehme damit.

1. Eine holomorphe Funktion $f:D\longrightarrow\mathbb{C}$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn $\oint_\gamma f(z)dz=0$ für alle geschlossenen Pfade $\gamma\rightsquigarrow D$.

2. Ist $D$ einfach zusammenhängend, dann gilt der Cauchysche Integralsatz, das bedeutet eine ganze Funktion (holomorph auf $\mathbb{C}$) besitzt immer eine Stammfunktion.

3. Definiere dir jetzt die Funktion $g:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C},g(z)=\sum\limits_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k}$. Die Funktion $g$ ist erst einmal auf ganz $\mathbb{C}$ definiert, da ihr Konvergenzradius unendlich ist.

4. Dass $f(z)=g(z)$ für alle $z\in \mathbb{C}$ gilt, ist klar. Und dass $f$ auf $\mathbb{C}^\ast$ holomorph ist, da echter Quotient zweier holomorpher Funktionen, auch.

5. Wenn du jetzt den Ursprung betrachtest, siehst du aber auch ein: Unser $f$ ist in einer Umgebung von $0$ identisch zu einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt um $0$, also ist $f$ analytisch in $0$.

6. Was sagt dir die Vorlesung zur Beziehung zwischen analytisch und holomorph?

7. Du schlussfolgerst, dass $f$ eine ganze Funktion ist, und bist fertig.

Das alles ohne zwei Seiten lang mit trigonometrischen Funktionen zu hantieren. Das ist der gesamte Sinn hinter komplexer Analysis. Ja, du kannst jedes $z$ in Realteil und Imaginärteil zerlegen, und dann rechnen als hättest du einfach zweidimensionale reelle Funktionen, die eine Differentialgleichung erfüllen. Aber das WILLST du nicht und MUSST du auch nicht.

Comments

Wow, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habs jetzt verstanden

Answer 2

Als erstes musst Du Dich entscheiden, ob Du beweisen oder widerlegen willst. Einfach herumargumentieren ohne Ziel bringt nichts.

Und Du könntest gemerkt haben, dass Deine Allzweckwaffe z=x+iy keine ist - wie in den anderen beiden Fragen. Wir sind in den komplexen Zahlen, deren Charme ja ist, dass man eben nicht mehr reell rechnen muss/braucht.

Hier hilft eine Potenzreihe weiter.

Comments

Ich wollte einfach mal annehmen, dass es stimmt und probieren, es zu beweisen. Wenn es aufgrund eines widerspruchs nicht klappt dann ist es ja, wie widerlegen. Und ich weiß nicht so genau, was du mit deinem Hinweis zu z meinst

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Wenn Du so vorgehen willst, dann muss der Beweis zwingend mit "Angenommen f sei holomorph." anfangen.

Zu z=x+iy hab ich Dir jetzt mehrfach was gesagt. Das wird hier nicht (und auch anderswo in der Funktionentheorie nur selten) benötigt.

Tipp steht in der letzten Zeile der Antwort. Auf geht's.

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Ich versteh nicht, wie ich die cauchy riemann gleichung anwenden soll ohne z eben als x+iy zu schreiben

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Warum die CR-Dgl anwenden willst, weiß ich nicht. Auch nicht, warum Du dem schon zweimal gegebenen Tipp nicht folgst.

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Ich dachte, man braucht die Cauchy riemann gleichung um zu zeigen, ob eine Funktion holomorph ist. Aber okay ich habs jetzt als Reihe geschrieben: 1-(z²/6)+(z⁴/120)-...

Mir fällt auf, dass dadurch z nur noch im Zähler steht und die Reihe somit keine Singularität mehr bei 0 hat.

Und dann?

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Es gibt etliche Möglichkeiten Holomorphie nachzuweisen, man wählt normalerweise eine einfache.

Du hast also nun die Funktion als Potenzreihe geschrieben, gut. Dann schlag mal nach, was man über die Funktion schließen kann, wenn sie als Potenzreihe vorliegt.

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Ich hab gefunden, dass Funktionen die nur hebbare Singularitäten haben, holomorph sind. Da die funktion an der stelle z=0 1 wird, existiert der limes an der stelle und es ist eine hebbare singularität. Richtig?

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Du machst es unnötig kompliziert indem Du über Singularitäten redest (man kann zwar so argumentieren, ist aber unnötig aufwendig).

Die Funktion ist in eine PR entwickelbar. Solche Funktionen sind (Satz der Vorlesung, sicher auch Deiner Vorlesung) auf ihrem Konvergenzbereich holomorph. Ein weiterer Satz der Vorlesung vollendet die Aufgabe, nämlich?