Um die logischen Zusammenhänge in deiner Frage etwas aufzuräumen. Ich hoffe, dass ich nudger nichts vorweg nehme damit.
1. Eine holomorphe Funktion \(f:D\longrightarrow\mathbb{C}\) besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn \(\oint_\gamma f(z)dz=0\) für alle geschlossenen Pfade \(\gamma\rightsquigarrow D\).
2. Ist \(D\) einfach zusammenhängend, dann gilt der Cauchysche Integralsatz, das bedeutet eine ganze Funktion (holomorph auf \(\mathbb{C}\)) besitzt immer eine Stammfunktion.
3. Definiere dir jetzt die Funktion \(g:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C},g(z)=\sum\limits_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k}\). Die Funktion \(g\) ist erst einmal auf ganz \(\mathbb{C}\) definiert, da ihr Konvergenzradius unendlich ist.
4. Dass \(f(z)=g(z)\) für alle \(z\in \mathbb{C}\) gilt, ist klar. Und dass \(f\) auf \(\mathbb{C}^\ast\) holomorph ist, da echter Quotient zweier holomorpher Funktionen, auch.
5. Wenn du jetzt den Ursprung betrachtest, siehst du aber auch ein: Unser \(f\) ist in einer Umgebung von \(0\) identisch zu einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt um \(0\), also ist \(f\) analytisch in \(0\).
6. Was sagt dir die Vorlesung zur Beziehung zwischen analytisch und holomorph?
7. Du schlussfolgerst, dass \(f\) eine ganze Funktion ist, und bist fertig.
Das alles ohne zwei Seiten lang mit trigonometrischen Funktionen zu hantieren. Das ist der gesamte Sinn hinter komplexer Analysis. Ja, du kannst jedes \(z\) in Realteil und Imaginärteil zerlegen, und dann rechnen als hättest du einfach zweidimensionale reelle Funktionen, die eine Differentialgleichung erfüllen. Aber das WILLST du nicht und MUSST du auch nicht.
