Konvergenz und Grenzwert einer Rekursiven Folge

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge
a_n+1 =1/(2+a_n)
für n > 1
mit a1 = 0 konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht durch Monotonie und Beschränktheit die Konvergenz zu beweisen, jedoch ist die Folge nicht monoton, was man nach berechnen der ersten Folgenglieder erkennt. Ich habe nicht wirklich weitere Ansätze, wie man die Konvergenz von rekursiven Folgen zeigt

Answer 1

Hallo,

der Konvergenzbeweis durch dem Kriterium der Monotonie und Beschränktheit, gilt hier wie Du bemerkt hast nicht. Das ist eine speziellere rekursive Folge, wo man ganz gut den Banachschen Fixpunktsatz verwenden kann.

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Definitionen und Zusammenhänge (Falls Du das noch nicht hattest)

Eine Funktion f: R -> R heisst lipschitzstetig, falls für alle x,y es eine Konstante L > 0 (Genannt: Lipschitzkonstante) gibt, sodass die Abschätzung |f(x)-f(y)| ≤ L |x-y| gilt. Dabei gilt:

f ist genau dann mit der Lipschitzkonstante L lipschitzstetig, wenn die Ableitung f‘ durch L beschränkt ist.

f heisst kontrahierend, falls für die Lipschitzkonstante L gilt: L ∈ (0,1).

Der Banachsche Fixpunktsatz sagt: Eine Funktion f, die kontrahierend ist, hat mindestens einen Fixpunkt x, mit f(x) = x.

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Nun zur Aufgabe:

Die Folge a(n) selbst ist beschränkt. Es gilt z.B. für alle n ≥ 0 die Relation. 0 ≤ a(n) ≤ 1/2. Das kannst Du ganz einfach mit Induktion nach n zeigen. Nun definieren wir noch f: (0,inf) —> R, f(x) := 1/(2+x).

Die Ableitung ist f‘(x) = - 1/(x+2)^2. Da für alle Argumente x > 0 die Abschätzung (x+2)^2 > 4 gilt, gilt auch |f‘(x)| = 1/(x+2)^4 < 1/4. Also ist die Ableitung f‘ durch 1/4 beschränkt und f damit mit der Lipschitzkonstante L := 1/4, lipschitzstetig. f ist also insbesondere auch kontrahierend. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert ein Fixpunkt x > 0 mit f(x) = x. Diesen Fixpunkt können wir berechnen. Setze f(x) = x, also die Gleichung x = 1/(2+x). Diese hat mit Umstellen nach x, die Lösungen x = -1+sqrt(2) oder                 x = -1-sqrt(2). Hierbei kommt -1-sqrt(2) nicht in Frage, da es negativ ist. Also ist unser Fixpunkt x = sqrt(2)-1. Dann ist a(n+1) = 1/(2+ a(n)) = f(a(n)). Dabei konvergiert also die Folge a(n) gegen L := lim a(n) = lim a(n+1), falls die Gleichheit L = 1/(2+L) erfüllt wird. Da wir wegen der kontrahierenden Funktion f den Fixpunkt x = sqrt(2)-1 ∈ [0,1/2] haben, welcher die Gleichheit erfüllt, konvergiert also a(n) gegen diesen Punkt x. Es folgt somit: sqrt(2)+1 = x = L = lim a(n).

Answer 2

Sei \(a_1=0\) und \(a_{n+1}=\frac1{2+a_n}\) für \(n\ge1\) rekursiv definiert. Sei \(g=\sqrt2-1\).
Wie man leicht nachrechnet ist \(0<g<1\) und \(g=\frac1{2+g}\) und \(a_n\ge0\) für alle \(n\ge1\).

Zeige nun per Induktion über \(n\), dass \(\lvert a_n-g\rvert\le g^n\) für alle \(n\ge1\) gilt:
Der Induktionsanfang ist klar.
Induktionsschritt: Die Aussage gelte für ein \(n\ge1\). Es folgt$$\lvert a_{n+1}-g\rvert=\left\lvert\frac1{2+a_n}-\frac1{2+g}\right\rvert=\left\lvert\frac{a_n-g}{(2+a_n)(2+g)}\right\rvert\le g^n\cdot g=g^{n+1}.$$Daraus folgt Konvergenz.