Wie zeige ich hier lin unabh.?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufate 2.C.
Sei Vein Vehtanoum über ainem Köper K̇ und \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \). Wie schreiben arepentem \( W_{:}=V_{1}+\ldots+V_{n} \) :
\( \xi \) Vi, .., vn genau darn Baris foin wemn \( V_{1}, \ldots, V_{n-1}, w \) eine Bases fiil \( V_{i s} \).

Beweis:
Sei \( a \in \mathbb{K} \) anel \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) :
\( \begin{array}{l} z_{2} a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n} \cdot v_{n-1}+w=0 \Rightarrow a_{4}, a_{n}=0 \\ a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n}: w \\ =a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n i} v_{n-1}+a_{n}\left(v_{1}+\ldots v_{n}\right) \\ =a_{1} v_{1+\ldots}+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}+a_{n}\left(v_{1}+\ldots+v_{n-1}\right) \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, leider stecke ich hier in einer Sackgasse. Wie zeige ich hier lin unabh.?

Answer 1

1. Richtung:

Sei \(   v_{1} , \cdots, v_{n} \) Basis für V und \( w = v_{1}+\ldots v_{n} \):

Dann willst du zeigen, dass \(  v_{1} , \cdots, v_{n-1},w \) eine Basis für V ist.

Seien also \(  a_{1} , \cdots, a_{n} \in K \) mit

\(  a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n} \cdot w = 0  \)

Dann hattest du ja schon richtig:
\( a_{1} \cdot v_{1}+\cdots+a_{n-1} \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}+a_{n}\left(v_{1}+\ldots+v_{n-1}\right)=0 \)

Löse die andere Klammer auch auf und fasse die Teile mit dem gleichen v zusammen:

\( (a_{1}+a_n) \cdot v_{1}+\cdots+(a_{n-1}+a_n)  \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}=0 \)

Wegen der lin. Unabh. der v_i ist a_n=0 und alle Klammern sind 0,

also alle a_i gleich 0.   q.e.d.

Comments

Danke für deine Erklärung! Wieso steht bei dir oben 1 Richtung, muss ich noch die zweite zeigen?

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Und wieso dürfen wir an = 0 setzen? Das war ja nirgends in den Voraussetzungen. Oder ist das eine Definition die man immer verwenden kann?

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Und wieso dürfen wir an = 0 setzen?

Die Frage hättest du schon oswald stellen können, oder war dir das bei ihm klar ?
Dann benutze dieselbe Begründung auch hier.

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" Wieso steht bei dir oben 1 Richtung,"

Du sollst doch zeigen:

v1, .., vn genau dann Basis von V,

wenn \( V_{1}, \ldots, V_{n-1}, w \) eine Basis von V ist..

Also so:

v1, .., vn Basis von V <=>  \( v_{1}, \ldots, v_{n-1}, w \)  Basis von V.

Ich habe nur ==> gezeigt.

Da jeweils die Anzahl stimmt, habe ich mich nur auf lin. unabhängig

konzentriert. Denn das bedeutet ja:

Wenn eine Linearkombination der Vektoren den 0-Vektor ergibt,

dann sind alle Faktoren vor den Vektoren gleich 0.

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Alles klar danke, aber mir ist immernoch nicht klar wieso man a_n gleich 0 setzen kann? Mir ist es egal wen ich frage, irgendwo muss ich es ja runterschreiben! xD

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Du hast doch

\( (a_{1}+a_n) \cdot v_{1}+\cdots+(a_{n-1}+a_n)  \cdot v_{n-1}+a_{n} v_{n}=0 \)

(oder ist das deine Frage, warum da = 0 steht ? )

Und es gilt  \(  v_{1} , \cdots, v_{n} \) sind linear unabhängig

und bilden eine Linearkombination des Nullvektors.

Das bedeutet nach Def. der lin. Unabh., dass die Faktoren vor

jedem v_i gleich 0 sein müssen, also

\( (a_{1}+a_n) =0 , \cdots, (a_{n-1}+a_n)  =0  \text{ und  } a_{n}=0 \)

Die letzte Gleichung in die ersten n-1 Stück eingesetzt liefert:

Alle a_i müssen 0 sein, also sind die anfangs betrachteten Vektoren

\(  v_{1} , \cdots, v_{n-1},w \) sind lin. unabh.

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Zu der Frage an=0:

Jetzt verstehe ich wieso wir das verwenden durften, aber mir ist immer noch nicht klar wieso alle an inneralb der Klammern gleich 0 gesetzt wurden außer einem an der noch in der Multiplikation mit vn steht

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"wieso alle an innerhalb der Klammern gleich 0 gesetzt wurden"

Das folgt aus dem Gleichungssystem:

\( (a_{1}+a_n) =0 , \cdots, (a_{n-1}+a_n)  =0  \text{ und } a_{n}=0 \)

Wegen der letzten Gleichung bleibt nur

\( (a_{1}+0) =0 , \cdots, (a_{n-1}+0)  =0  \text{ und } a_{n}=0 \)

und kurz bedeutet das:

\( a_{1}=0 , \cdots, a_{n-1}  =0  \text{ und } a_{n}=0 \)

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Text erkannt:

Arifabe 2.C
Sei Vein Vehtomoum über einem Cojper Kend \( v_{1}, v_{n} \in V \). Wir schneiben auperslem \( w_{:}=v_{1}+\cdots+V_{n} \)
\( \xi_{i}, V_{1}, V_{n} \). genau darn Baissfir \( V_{1} \) wern \( V_{11}, V_{n-1}, w \) ene Bases fi \( V_{\text {is }} \) :

Buseis:
\( V_{1, \ldots, V_{n-1}} \) Basis ven \( V \Rightarrow V_{1}, \ldots, V_{n-1}, w \) Besese van \( V \)
\( \begin{aligned} & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n} \cdot w=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} v_{i}=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{n} v_{i}=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+\sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{n} v_{i}+a_{n} v_{n}=0 \\ \Leftrightarrow & \sum \limits_{i=1}^{n-1} v_{i}\left(a_{i}+a_{n}\right)+a_{n} v_{n}=0 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} k_{i} & \subseteq \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} V_{i} \\ & \Rightarrow a_{11}, \ldots, a_{n} \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \) linear unabhängeg.
\( \Rightarrow \) Banis
Da \( V_{4}, \ldots, V_{n} \) eine Basis ist honnen wir deren Coefficienten
\( a_{1}=\ldots=a_{n}=0 \) sehen
\( \left(\frac{a_{n}=0}{d a \text { Basis }} \sum \limits_{i=1}^{n-1} \cdot v_{i}\left(a_{i}+0\right)+0 v_{n}=0 .\right. \)
\( \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n-1} v_{i} a_{i}=0 \quad \Rightarrow v_{1}, \ldots, v_{n-1} \) Besis ven V
\( V_{1}, \ldots ; V_{n} \) boesis ven \( V . V_{1} ; \ldots ; V_{n-1} \), w. Boeses \( V_{a n} V \).
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \\ \Leftrightarrow \sum \limits_{i=-1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n} \dot{v}_{n}=0 \\ \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} v_{i}+a_{n}\left(w-\sum \limits_{i=1}^{n-1} v_{i}\right) \\ \Leftrightarrow \underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i} V_{i}+a_{n} \cdot w}-\sum \limits_{i=1}^{n} a_{n} V_{i} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} w=V_{4}+\ldots+v_{n} /- \\ w-V_{n}=V_{1}+\ldots+V_{n-1} \\ v_{n}=w-V_{1}+\ldots+v_{n-1} \end{array} \)
\( \sum \limits_{i=1}^{n-T} a_{i} k_{i}+a_{n} \cdot w=0 \)

Hier komme ich ins stocken, könnt ihr mir helfen?

Answer 2

Ist

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}+a_{n}w=0\),

dann ist

\(\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}+a_{n}\sum_{i=1}^{n}v_{i}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n}v_{i}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_{i}+a_{n}\right)v_{i}+a_{n}v_{n}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_{i}+0\right)v_{i}+0v_{n}\\ = & \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i} \end{aligned}\)

Comments

Hallo Oswald, danke für deine Rechnung, die finde ich sehr übersichtlich. Ich verstehe nur nicht wieso wir diese Rechnung überhaupt gemacht haben. Können wir nicht direkt am Anfang a_n = 0 setzen?

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Das kannst du erst, wenn du eine Linearkombination der v_i hast,

die den Nullvektor ergibt. Denn die v_i sind ja als lin. unabh. bekannt.